معادلات تعریف کننده ی خم ها و رویه های پارامتری شده و کاربرد آن

در این پایان نامه، ایده آل تعریف کننده ی یک خم پارامتری شده در صفحه ی آفین a^2 مورد مطالعه قرار می گیرد. نشان داده می شود برای هر خم مسطح پارامتری شده، ایده آل تعریف کننده ی آن توسط دو چندجمله ای p و q در [k[t,x_1,x_2، از درجه ی حداکثر یک، بر حسب متغیرهای x_1 و x_2 و بر حسب t به ترتیب از درجه ی حداکثر m و n-m تولید می شود. این دو مولد، که برای i، یعنی ایده آل تعریف کننده ی خم گویا، میو-پایه نامیده می شود متفاوت از پایه ی گروبنر i می باشند و از لحاظ محاسباتی بر دیگر پایه ها از مزیت بیشتری برخوردارند. نشان داده می شود میو-پایه به یک نمایش فشرده از معادله ی ضمنی خم می انجامد. هم چنین نشان داده می شود در اکثر موارد معادله ی ضمنی یک خم گویا از درجه ی 2n، می تواند بر حسب دترمینان یک ماتریس n در n، که درایه های آن بر حسب x_1 و x_2، از درجه ی 2اند بیان شود. هم چنین معادله ی ضمنی یک خم گویای از درجه ی 2n+1، می تواند بر حسب دترمینان یک ماتریس (n+1) در (n+1) با n-سطر شامل درایه هایی که بر حسب x_1 و x_2 از درجه ی 2اند و یک سطر، که درایه هایش بر حسب x_1 و x_2 از درجه ی یک اند، بیان شود. نشان داده می شود برای m=0، خم مورد نظر یک خط چندگانه است و m=1 دلالت بر وجود یک نقطه از چندگانگی n-1 روی خم دارد. برای m>1، خم هایی وجود دارند که به ویژگی های هندسی ای هم چون نقطه ی چندگانگی و یا نقطه ی عطف بستگی ندارند. هم چنین نشان داده می شود چگونه ایده های به کار گرفته شده در حالت خم های مسطح، می تواند به بررسی خم های گویا در فضای آفین سه بعدی و بیشتر، به کار گرفته شوند. برای این کار، قضیه ی سیزیجی هیلبرت، نقش اساسی ایفا می کند.