رویکردی جدید در محاسبه عدد k-مستقل در گراف های خاص

در فصل 1‏‎ به بیان و بررسی تعاریف ابتدایی گراف و همچنین بیان برخی اقدامات اولیه ریاضیدانان در زمینه استقلال در گراف‏ می پردازیم‏،‎‎‎‎‎ سپس مسأله ای کاربردی از مجموعه مستقل را بیان می کنیم.‎‎ ‎ در فصل 2‏‎‎‎ مساله یافتن بیشترین تعداد مجموعه های مستقل ماکسیمم گراف ‎$ g $‎ از مرتبه ‎n را مورد مطالعه قرار می دهیم. این مساله را برای بخش های مختلف گراف‏، مانند گراف های عمومی‏، درخت ها‏، جنگل ها‏، گراف های همبند با حداکثر یک دور‏، گراف های همبند‏ و گراف های مثلث-‎‎‎آزاد و... ‎‎را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین گراف اکسترمال این ماکسیمم مقادیر را نیز بدست می آوریم.‎‎ ‏در فصل ‎3‎‏‎‎ تقریبی ساده و اولیه از کران پایین ‎‎‎‎‎ ‎alpha_‎k ‎(‎g)‎‎‎‎ که با حذف کردن رئوس تکراری از درجه ماکسیمم بدس‎ت‎ می آید، را بدست می آوریم.‎ به این منظور پارامتر ‎$‎f(k,d)‎$‎ را در گراف ‎$‎g‎$‎ تعریف می کنیم که از پایین‎‎‏، بهترین نسبت ممکن برا‏ی ‎‎‎$‎‎frac{alpha(g)}{n(g)}‎$‎‎ ‎‎را در گراف‏ ‎$‎‎‎g‎$‎ با‏ ‎$‎d(g)leqslant ‎d‎$‎‎‏ مورد تقریب قرار داده و مقدار دقیق ‎$‎‎‎f(1,d)‎$‎‏ را محاسبه م‎ی‎کند و کران پایین برای ‎$‎‎‎f(k,d)‎$‎ را به ما می دهد. ‎همچنین‎ کران بالا برای ‎‏‎$‎‎‎f(k,d)‎$‎ را بهبود می بخشیم. این فصل را با بیان یک سری مسائل حل و اثبات نشده، به پایان می رسانیم و همچنین جوابی ر‎ا‎ که تاکنون به آن دست یافته ایم‎‎‏‏، را ارائه می کنیم. در فصل ‎4‎‎ اثر متقابل ‎‎‎‎alpha_j(g)‎‎ و ‎gamma_k(g)‎‎‏ در گراف‎ ‎‎‎‎g‎‎ را مورد مطالعه قرار داده و قضیه اصلی را برای عمومیت بخشیدن قضیه فرعی بیان می کنیم و اینکه چه زمانی تساوی دو پارامتر حاصل می شود را مورد مطالعه قرار می دهیم.‎‎‎ بعلاوه رابطه ‎م‎تقابل این پارامتر ها را قوت ‎‎بخشیده و کران جدید روی ‎‎‎‎k‎-احاطه گر ها و‎‏ ‎‎‎‎j‎‎-مستقل ها می یابیم