روش های تفاضلی کمترین مربعات متحرک تعمیم یافته ی صریح و ضمنی برای مسله ی استیفن

مساله استیفن یکی از مشهورترین مسایل مرز متحرک است که در آن مرز تبدیل فاز از مایع به جامد یا برعکس تغییر می کند تا جریان گرما بین دو فاز به تعادل برسد. معادلات دیفرانسیل پاره ای به دو شکل ضمنی و صریح هستند. حل مساله برای شکل صریح یک سیستم خطی را حاصل می شود، اما حل مساله برای شکل ضمنی یک سیستم غیرخطی را ایجاد می کند.شکل صریح ساده و موثر است، اما روش ضمنی جواب درست تر و تثبیت شده تری دارد. حل مسائل استیفن با وجود مرز متحرک چندان آسان نیست.اصولاً برای حل مسائل مرز متحرک، یک تکنیک عددی مخصوص مجهز شده با ابزار حل غیر خطی نیاز است. تکنیک استفاده شده میبایستی قادر به ردیابی مرز متحرک باشد. در گذشته روش های مختلفی برای حل مسائل ارائه شده است که از آن جمله میتوان به روش immersed interface method ، روش front-racking و روش x-fem و fdm و روش level set method اشاره کرد که اکثر این روش ها درگیر فرمولاسیون و روش های عددی پیچیده هستند . اما روش تفاضلی mls روش عددی جدیدتری است که می تواند مسائل استیفن یک بعدی را به درستی و به طور موثر تری حل کند. معادلات دیفرانسیل پاره ای اساسی،معادلات گرما هستند.مثال های عددی نشان می دهد که روش mls به دقت و کارایی عالی در حل مسأله ی ذوب نیمه متناهی با مرز متحرک دست می یابد. روش تفاضلی mls یک روش عددی است که بر اساس بسط تیلور با استفاده از روش کمترین مربعات متحرک پایه ریزی شده است که از روش fdm و meshfree به دست می آید. اما نسبت به این دو روش مزایای بیشتری دارد و مسأله استیفن را سریعتر و راحت تر حل می کند . در روش تفاضلی mls چند جمله ای تیلور با اضافه کردن تابع گوه که نشان دهنده ی پرش مشتق نرمال است گسترش داده می شود.