گراف های سیمپلکتیک به پیمانه pq و p^n

فرض کنیم ‎$m$‎ یک عدد طبیعی، ‎$ mathbb{z}_{m} $‎ حلقه ی رده های مانده ای به پیمانه ی ‎$ m $‎ و ‎$ u(mathbb{z}_{m}) $‎ گروه اعضای وارون پذیر آن باشد. برای عدد صحیح مثبت ‎$ u$‎، ‎$mathbb{ z}_{m}^{(2 u)} $‎ را مجموعه ی همه ی ‎$ 2 u $-‎تایی های ‎$ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) $‎ از اعضای ‎$mathbb{ z}_{m} $‎ درنظر می گیریم به طوری که ‎$a_{1}mathbb{z}_{m}+a_{2}mathbb{z}_{m}+cdots‎ ‎+a_{2 u}mathbb{z}_{m}=mathbb{z}_{m}$.‎ رابطه ی هم ارزی ‎$ sim $‎ روی ‎$ mathbb{z}_{m}^{(2 u)} $‎ را به صورت زیر تعریف می کنیم ‎[ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) sim (b_{1}ldots‎ ,‎b_{2 u} ) longleftrightarrow exists lambdain u(mathbb{z}_{m})‎ , ‎ ‎ ‎(a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) = lambda (b_{1},ldots‎ ,‎b_{2 u}‎ ) .‎]‎ رده ی هم ارزی شامل ‎$ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u}) $‎ را با ‎$ [a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ]$‎ و مجموعه همه ی رده های هم ارزی را با ‎$widetilde{mathbb{z}}_{m}^{(2 u)} $‎ نشان می دهیم. فرض کنیم ‎egin{equation*}‎ ‎mathbf{k^{(2 u)}} = left(‎ ‎egin{array}{cc}‎ ‎0 & i^{( u)} ‎ -‎i^{( u)} & 0‎ ‎end{array} ight)‎, ‎end{equation*}‎ که در آن ‎$i^{( u)}$‎ ماتریس همانی از مرتبه ی ‎$ u$‎ است. یادآوری می کنیم که گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎، پیمانه ی ‎$ m $‎ و از درجه ‎$2 u$‎ نسبت به ماتریس ‎$k^{(2 u)}$‎ مشتمل بر همه ی ماتریس های ‎$2 u imes 2 u$‎ مانند ‎$t$‎ روی ‎$mathbb{z}_m$‎ است به طوری که ‎$tk^{(2 u)}t^{t}=k^{(2 u)}$‎، که در آن ‎$t^t$‎ ترانهاده ی ماتریس ‎$t$‎ است. گراف سیمپلکتیک به پیمانه ی ‎$m$‎ که با ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ نشان می دهیم، گرافی است که رأس های آن مجموعه ی ‎$widetilde{mathbb{z}}_{m}^{(2 u)} $‎ است و دو رأس ‎$[a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u}]$‎ و ‎$[b_{1},ldots‎, ‎b_{2 u}]$‎ مجاورند اگر و تنها اگر ‎$[a_{1},ldots,a_{2 u}]k^{(2 u)}[b_{1},ldots,b_{2 u}]^{t}in u(mathbb{z}_{m})$‎. در این پایان نامه گراف سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ به پیمانه ی ‎$m$‎ را در دو حالت ‎$m=pq$‎ و ‎$m=p^{n}$‎، که در آن ‎$p$‎ و ‎$q$‎ دو عدد اول متمایز و ‎$n$‎ عدد صحیح است، بررسی می کنیم. نشان می دهیم گراف سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ ترایای کمانی است، به ویژه گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎ به صورت ترایا روی مجموعه ی رأس های گراف ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ با تعریف ‎egin{eqnarray*}‎ ‎&&{ m sp}^{(2 u )}_m imes { m sp}_{2 u} (m)longrightarrow { m sp}^{(2 u)}_m ‎ ‎&& ([x_1‎, ‎x_2‎, ‎ldots‎ , ‎x_{2 u} ]‎, ‎t) mapsto (x_1‎, ‎x_2,ldots‎ , ‎x_{2 u} )t‎ ‎end{eqnarray*}‎ عمل می کند. در ادامه به تعیین زیرمدارهای گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎ روی گراف ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ و تعداد رأس های ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ می پردازیم.