تعمیم ها‏ی معادله ‏ی ریچاودری و کاربرد آن در دینامیک ذرات چرخان

طبق نظریه ی نسبیت عام ذرات آزاد روی ژئودزی های فضازمان زمینه حرکت می کنند، بنابراین بررسی حرکت ذرات آزمون آزاد معادل با مسئله ی هندسی یافتن ژئودزی های فضازمان است. وقتی ذرات آزاد نباشند ( مثلا اگر تحت تاثیر یک نیروی غیر گرانشی باشند) با داشتن نیرو و اصلاح سمت راست معادله ی ژئودزی می توان مسیر ذره را ( که در حالت کلی دیگر ژئودزی نیست) به طور کامل مشخص کرد. در وضعیت های پیچیده تر مثل حرکت یک سیال در فضای خمیده حل معادلات حرکت نه امکان پذیر است و نه سودمند. در این گونه موارد با حل معادله ای مرسوم به معادله ی ریچاودری به اطلاعات زیادی در مورد تحول دستگاه می رسیم (برای مثال واگرا شدن یا همگرا شدن مسیرها در باریکه ای از ذرات). مشکلی که در اینجا وجود دارد این است که این معادله همواره بر حسب چاربردار بهنجار شده ی سرعت بیان شده است که در بسیاری از موارد یافتن آن یا امکان پذیر نیست و یا بهترین انتخاب برای توصیف حرکت نیست .برای مثال ممکن است لازم باشد دستگاه را بر حسب یک بردار فضاگونه و یا حتی ترکیبی از دو بردار زمانگونه یا فضاگونه توصیف کنیم که در این موارد باید معادله ی ریچاودری را تعمیم دهیم. یکی از کاربردهای این تعمیم در دستگاهی از ذرات چرخان است. دینامیک ذرات چرخان با دسته ای از معادلات مرسوم به معادلات ماتیسون-پاپاپترو-دیکسون توصیف می شوند که پیامد اصلی آنها جفت شدگی تکانه ی زاویه ای داخلی ذرات با خمش فضا زمان است که در اثر آن ذرات روی ژئودزی های زمینه حرکت نمی کنند، سرعت و تکانه موازی نیستند و جهت تکانه ی زاویه ای نسبت به زمان ثابت نمی ماند . مسئله ی دیگر چگونگی اعمال معادله ی اصلاح شده ی ریچاودری به دینامیک ذرات چرخان است که در نهایت به بررسی آن می پردازیم.