مطالعه طیف گراف و بررسی برخی الگوریتم ها با کاربردهایی در نانوتکنولوژی

گراف ها مدل های ریاضی کارآمدی برای تحلیل بسیاری از مسائل دنیای واقعی هستند. نظریه جبری گراف شاخه ای از ریاضیات است که گراف ها را با استفاده از خاصیت های جبری ماتریس ها ی وابسته به آن ها مورد مطالعه قرار می دهد. به صورت دقیق تر‏، نظریه طیفی گراف به مطالعه روابط بین ویژگی های گراف و طیف ماتریس مجاورت و ماتریس لاپلاس آن می پردازد. نظریه‎ طیفی گراف کاربردهای بسیاری دارد. بنیان گذاران شرکت گوگل با محاسبه بردارویژه پرون-فروبنیوس گراف شبکه ای توانستند به ثروت هنگفتی دست پیدا کنند. کوچک ترین بردارویژه یک گراف اطلاعات مفیدی در خصوص عدد استقلال و عدد رنگی گراف به دست می دهد. یکی دیگر از کاربردهای نظریه طیفی گراف یافتن طرح بندی های مناسب برای ترسیم یک گراف است. در نانوتکنولوژی این نوع از ترسیم گراف برای تحلیل شکلی نانولوله ها مورد استفاده قرار می گیرد.‎‎‎‎ ‎در فصل 1 به تعریف نمادگذاری های موردنیاز پرداخته و برخی از مفاهیم اساسی نظریه گراف و جبرخطی را یادآوری می کنیم. در فصل 2 نظریه طیفی را به شکل دقیق مورد بررسی قرار می دهیم و به برخی از نتایج نه چندان مشهور که پایه قسمتی از کار ما هستند‏، می پردازیم. در فصل 3 با ماتریس های مربوط به گراف و برخی از ویژگی های آن ها آشنا می شویم. این ماتریس ها برای تولید طرح بندی های طیفی بکار می روند. در فصل 4 توصیف طرح بندی های طیفی مختلف را با توصیف طرح بندی لاپلاسی آغاز می کنیم. برای دستیابی به یک ترسیم رضایت بخش‏، زمانی که تقارن کاهش می یابد‏، نیاز داریم که برخی تغییرات را بر روی طرح بندی لاپلاسی اعمال کنیم. در فصل 5 الگوریتم های مهمی که برای هر سه نوع ترسیم ارائه شده بکار می روند را مورد بررسی قرار می دهیم و یک پیاده سازی برای الگوریتم ترسیم طیفی گراف را در نرم افزار ‎‎‎‎maple به همراه نتایج اجرای آن ارائه می کنیم. در پایان فصل 5 به مسئله طرح بندی مسطح گراف می پردازیم و برای نخستین بار ضمن معرفی گراف های مسطح کمان دار با استفاده از برنامه های‎matlab‎‎ ‎ به چگونگی رفع مشکل ترسیم مسطح این گونه گراف ها می پردازیم. در فصل 6 کاربردهای طیف گراف برای تحلیل شکل نانولوله ها را مورد بررسی قرار می دهیم.