پیوستگی خودکار و پایداری انشقاق ها و مطالعه ی مجموعه ها و توابع محدب روی *-حلقه ها

برای هر تابع حقیقی مقدار ‎$f$‎ می توان تابع ماتریس مقدار ‎$f(x)$‎ متناظر را روی ماتریس های خودالحاق با اثر ‎$f$‎ روی مقادیر وی‍ژه ی ‎$x$‎ در تجزیه ی طیفی آن تعریف کرد. توابع ماتریسی نقش به سزایی را در محاسبات علمی و مهندسی ایفا می کنند. از جمله مثال های معروف از توابع ماتریسی می توان به تابع ‎$sqrt{x}$‎ (تابع ریشه ی دوم یک ماتریس مثبت) و تابع ‎$e^x$‎ (تابع نمایی از یک ماتریس مربع) اشاره کرد. طیف وسیعی از این توابع به نام توابع محدب ماتریسی وجود دارند که نقش اساسی در مکانیک آماری کوانتمی و نظریه ی اطلاعات کوانتمی بازی می کنند و توسط لاونر و کرایوس در دهه ی سی ام قرن نوزده پایه گذاری شده اند. این طیف وسیع از توابع بعدها مورد توجه ریاضی دانان بسیاری مانند هانسن، پدرسن، آندو، افراس و دیگران قرار گرفته است. اخیرا افراس تابع چشم انداز کلاسیک و چشم انداز توسعه یافته ی مارچال را روی ماتریس های جابجایی و مثبت اکید بیان کرده و بعضی از خواص مشابه در حالت کلاسیک را به حالت ماتریسی تعمیم داده است. وی با بهره بردن از آن اثبات های ساده تری را برای مشترک محدب بودن تابع آنتروپی نسبی روی ماتریس های چگالی و مثبت اکید که منتسب به لیب و روسکایی است و توسیع لیب در حالت ‎$p+qle 1$‎ ارائه کرده است. اما تعریف و توسعه ی افراس می تواند برای ماتریس های ناجابجایی در نظر گرفته شود. از این رو در فصل ‎ ef{perspective}‎ همان مفاهیم را برای حالتی که ماتریس ها جابجایی نباشند تعریف و سپس خواص آن ها را مطالعه خواهیم کرد. تابع چشم انداز ‎$g$‎ وابسته به ‎$f$‎ را به صورت زیر روی ‎$h_n(i) imes g_n(i)$‎ تعریف می کنیم، ‎$$‎ ‎(l,r)longmapsto g(l,r):=r^{1/2}f(r^{-1/2}lr^{-1/2})r^{1/2}‎. ‎$$‎ همچنین تابع چشم انداز توسعه یافته ی مارچال وابسته به ‎$f$‎ و ‎$h$‎ را به صورت زیر تعریف خواهیم کرد، ‎$$‎ ‎(l,r)longmapsto (f riangle h)(l,r):=h(r)^{1/2}f(h(r)^{-1/2}lh(r)^{-1/2})h(r)^{1/2}‎. ‎$$‎ سپس شرایط لازم و کافی برای مشترک محدب بودن این توابع و مشترک مقعر بودن آن ها را به دست خواهیم آورد. در ادامه به بعضی از کاربردها نیز اشاره خواهیم کرد. نظریه ی پایداری اولین بار در سال ‎????‎ توسط هایرز مطرح شد وی پایداری نگاشت های خطی را روی فضاهای باناخ بررسی کرد. در سال ‎1949‎ بورگین بحث مشابه را برای همریختی حلقه ها و روی جبرهای باناخ انجام داد. آوکی و راسیاس اولین ریاضی دانانی بودند که تفاضل کوشی را بی کران در نظر گرفتند. تا این که گاوروتا در سال ‎1994‎ این تفاضل را با یک تابع دلخواه کنترل نمود. از آن به بعد ریاضی دانان معروفی مانند پارک، عبادیان، نجاتی، اسحاقی گرجی، ساهو، مصلحیان و ... کارهای جالب و متنوعی را انجام دادند. از آن جا که مساله ی پایداری اشتقاق ها و همریختی ها روی فضاهای مختلف از جمله هیلبرت ‎$c^*$-‎مدول ها و جبرهای باناخ پر اهمیت به نظر می رسد و نتایج آن ها می تواند تحول وسیعی در سایر علوم مانند فیزیک کوانتم به وجود آورد، در فصول ‎ ef{actamath}‎، ‎ ef{ijgmmp}‎ و ‎ ef{jocaaa}‎ به مساله ی پایداری اشتقاق ها خواهیم پرداخت. در نظریه ی پیوستگی خودکار، روی یک نگاشت خطی بین فضاهای باناخ شرایط جبری در نظر گرفته می شود که تحت آن شرایط این نگاشت به طور خودکار پیوسته می شود. این نظریه به طور گسترده ای در متون جبرهای باناخ گسترش یافته است. تحقیقات در زمینه ی پیوستگی خودکار شامل دو طیف گسترده از نگاشت های خطی روی جبرهای باناخ و جبرهای باناخ ناشرکت پذیر (بدون فرض شرکت پذیری) می شود که نسبت به ساختار ضربی خوش رفتارند. این دو طیف همریختی ها و اشتقاق ها هستند. در سال ‎1940‎ ایدلهایت‎footnote{lr{eidelheit}}‎ نشان داد که هر همریختی از یک جبر باناخ به روی جبر باناخ ‎$b(x)$‎ شامل تمامی عملگرهای خطی کراندار روی یک فضای باناخ ‎$x$‎ پیوسته است. تقریبا در همان زمان گلفاند ثابت کرد که هر همریختی از یک جبر باناخ جابجایی به توی یک جبر باناخ نیم ساده و جابجایی پیوسته است. در سال ‎1967‎ جانسون نشان داد که هر همریختی از یک جبر باناخ به توی جبر باناخ نیم ساده و ناجابجایی پیوسته است و این نتیجه هنوز هم مهمترین نتیجه از این نوع به شمار می آید. کاپلانسکی در سال ‎1958‎ حدس زد که یک اشتقاق روی یک ‎$c^*‎ ‎$-‎جبر به طور خودکار نرم پیوسته است و دو سال بعد ساکایی آن را ثابت کرد. از این قضیه کادیسون استفاده کرد و ثابت نمود که چنین اشتقاقی با توپولوژی ابرضعیف‎footnote{lr{ultra weak}}‎ نیز پیوسته است. در ادامه جانسون و سینکلر در سال ‎1968‎ پیوستگی خودکار اشتقاق ها را با توپولوژی حاصل از نرم روی جبرهای باناخ نیم ساده ثابت کردند. سپس رینگروز در سال ‎1972‎ همان مساله را برای اشتقاق ها از یک ‎$c^*‎ ‎$-‎جبر به توی یک باناخ مدول تعمیم دادند. در فصل ‎ ef{starderivation}‎ پیوستگی خودکار ‎$( heta,phi)^*‎ ‎$-‎اشتقاق ها و ‎$*‎ ‎$-‎اشتقاق ها را به دست خواهیم آورد. همچنین پیوستگی خودکار ‎$alpha‎ ‎$-‎اشتقاق ها که قبلا توسط برشار و ویلنا و در یک مقاله ی مجزا توسط حجازیان و جان فدا ثابت شده است، با روش متفاوت تری ثابت خواهیم کرد. در فصل ‎ ef{dblder}‎ به پیوستگی خودکار ‎$( heta,phi)‎ ‎$-‎اشتقاق های ‎$(delta,varepsilon)‎ ‎$-‎دوگانه خواهیم پرداخت. در سال ‎????‎ میرزاوزیری و امیدوار تهرانی مفهوم اشتقاق دوگانه را مطرح و نتایجی را در مورد پیوستگی خودکار آن ها به دست آوردند. پیوستگی خودکار ‎$( heta,phi)‎ ‎$-‎اشتقاق ها توسط میرزاوزیری و مصلحیان مورد بحث قرار گرفت و به این ترتیب آن ها قضیه ی ساکایی را تعمیم دادند. با استفاده از نتایج آن ها در فصل ‎ ef{dblder}‎ ابتدا مفهوم ارائه شده توسط میرزاوزیری و امیدوار تهرانی را تعمیم می دهیم و سپس پیوستگی خودکار آن را روی ‎$c^*‎ ‎$-‎جبرها بررسی می کنیم. اصطلاح تحدب ناجابجایی به هر یک از انواع مختلف تحدب اشاره می کند که در آن ضرایب محدب لازم نیست جابجایی باشند. مطالعه ی ‎$c^*‎ ‎$-‎تحدب به صورت تحدب ناجابجایی توسط لوئبل‎footnote{lr{loebl}}‎ و پالسن‎footnote{lr{ paulsen}}‎ آغاز شد. آن ها همچنین مفهوم نقاط ‎$c^*‎ ‎$-‎اکستریم را شبیه نقاط اکستریم در حالت ناجابجایی تعریف کردند. در سال ‎????‎ هوپنواسر‎footnote{lr{hopenwasser}}،‎ مور‎footnote{lr{moore}}‎ و پالسن بعضی از خواص هندسی و جبری مجموعه های ‎$c^*‎ ‎$-‎محدب را به دست آوردند. لوئبل و پالسن حدس زدند که نوعی از قضیه ی کراین-میلمن برای مجموعه های ‎$-c^*$‎محدب و فشرده برقرار باشد ولی ابزار ریاضی لازم برای انجام این کار در دست نبود. فارنیک‎footnote{lr{farenick}}‎ در قسمتی از رساله ی دکتری خود در دانشگاه تورنتو کانادا تحت راهنمایی پروفسور دیویس در سال ‎????‎ مسایل کراین-میلمن را برای ‎$-c^*$‎جبر ‎$m_n$‎ به صورت زیر طبقه~بندی کرد، ‎egin{enumerate}‎ ‎item[1)]‎ اگر ‎$ksubset m_n$‎ فشرده و ‎$-c^*$‎محدّب باشد، آیا دارای نقطه ی ‎$-c^*$‎اکسترمال است؟ ‎item[2)]‎ اگر ‎$ksubset m_n$‎ فشرده و ‎$-c^*$‎محدب باشد، آیا ‎$k$‎ با پوش ‎$-c^*$‎محدب نقاط ‎$-c^*$‎اکسترمال خود برابر است؟ ‎end{enumerate}‎ وی ثابت کرد که سوال ‎1)‎ در حالت کلی پاسخ مثبت دارد ولی پاسخی برای سوال ‎2)‎ در حالت کلی فوق پیدا نکرد. ولی موفق شد در یک حالت خاص که مجموعه ی فشرده و ‎$-c^*$‎محدّب ‎$k$‎ توسط مجموعه ی فشرده ای از ماتریس های نرمال تولید شده باشد، به آن پاسخ مثبت دهد. پاسخ دادن به سوال ‎2)‎ مستلزم شناخت نقاط ‎$-c^*$‎اکسترمال این مجموعه ها بود. فارنیک برای نیل به این هدف شرایط لازمی را مهیا کرد و این شرایط کمک کردند تا نقاط ‎$-c^*$‎اکسترمال مجموعه ی ‎$-c^*$‎محدبی که توسط مجموعه ی فشرده ای از ماتریس های نرمال تولید شده است، طبقه بندی شود. مورنز‎footnote{lr{morenz}}‎ برای حل قضیه ی کراین-میلمن در حالت ‎$-c^*$‎تحدب و برای ‎$-c^*$‎جبر ماتریس های ‎$n imes n$‎ با درایه های مختلط عناصر ساختاری‎footnote{lr{structural element}}‎ را معرفی کرد. وی این عناصر را در رساله ی دکتری خود در دانشگاه تورنتو تحت راهنمایی ام. دی. چوی‎footnote{lr{m.‎ ‎d‎. ‎choi}}‎ در سال ‎????‎ برای زیر~مجموعه های فشرده و ‎$-c^*$‎محدب در ‎$m_n$‎ ارائه داد و با پوش ‎$-c^*$‎محدب چنین عناصری، مجموعه ی اصلی را پوشاند. به این ترتیب ایشان قسمت دوم مساله ی کراین-میلمن را برای ‎$-c^*$‎جبر ماتریس های ‎$n imes n$‎ با درایه های مختلط نیز حل کرد. همچنین ایشان به کمک قضیه ی کراین-میلمن یک قضیه ی مهم در آنالیز محدب را که قضیه ی کاراتئودوری نام دارد، برای مجموعه های ‎$-c^*$‎محدب و فشرده در ‎$m_n$‎ بیان و ثابت کرد. وجود قضیه ی کراین-میلمن توسعه یافته بر حسب عناصر ساختاری نشان می دهد که عناصر ساختاری در قیاس با نقاط ‎$-c^*$‎اکسترمال شباهت بیشتری به نقاط اکسترمال خطی دارند. ماگاجنا‎footnote{lr{magajna}}‎ در سال ‎2000‎ مفهوم ‎$c^*‎ ‎$-‎تحدب را برای مدول های عملگری توسیع داد و بعضی از قضایای جداسازی را ثابت کرد. وی در همان سال تمامی عناصر نرمال را در بستار ضعیف ستاره ی پوش ‎$c^*‎ ‎$-‎محدب عنصر ‎$a$‎ مشخص کرد. همچنین وجود نقاط ‎$c^*‎ ‎$-‎اکستریم در زیرمجموعه های ‎$c^*‎ ‎$-‎محدب و ضعیف ستاره فشرده در یک جبر فون نویمن را نشان داد. ولی این نقاط اکستریم برای تولید مجموعه های ‎$c^*‎ ‎$-‎محدب اصلی کافی نبودند و لذا او نوع خاصی از نقاط ‎$c^*‎ ‎$-‎اکستریم را تعریف کرد و آن ها را نقاط ‎$crr‎ ‎$-‎اکستریم برای ‎$c^*‎ ‎$-‎جبر یکدار ‎$crr$‎ نامید و نوعی از قضیه ی کراین-میلمن را برای فاکتورهای ابرمتناهی‎footnote{lr{hyper finite factors}}‎ (در حالت خاص برای ‎$b(h)$‎ که ‎$h$‎ یک فضای هیلبرت جدایی پذیر است) ثابت نمود. در فصل ‎ ef{five-lamma}‎ مفهوم ‎$-c^*$‎تحدب را که برای زیرمجموعه های ‎$-c^*$‎جبر ماتریس های ‎$n imes n$‎ با درایه های مختلط مطرح شده و توسط محققین مختلف مورد بررسی قرار گرفته است، برای دومدول ‎$cal m$‎ روی ‎$*‎ ‎$-‎حلقه های خاص تعریف می کنیم و سپس بعضی از خواص جبری این مجموعه ها را که در جبر مجرد موجود است به این مجموعه ها تعمیم می دهیم. در پایان لازم به ذکر است که در فصل ‎ ef{introduct}‎ مفاهیم مقدماتی که به نظرمان ضروری می رسید گردآوری کرده ایم.