موجک ها و کاربرد آن ها در فیزیک اتمی و مولکولی

تبدیل فوریه به عنوان قدیمی ترین ابزار تبدیل سیگنال، قادر به انتقال سیگنال دریافتی از حوزه زمان به حوزه بسامد است. این تبدیل فاقد هر گونه اطلاعاتی در مورد زمان وقوع هر بسامد است. به عبارت دیگر، در این تبدیل اطلاعات وابسته به زمان، به طور کامل حذف می شود. برای تصحیح این اِشکال، گابور با ابداع روشی جدید، تبدیل فوریه را فقط برای محدوده ی زمانی کوچکی از سیگنال دریافتی به کار برد و این محدوده را پنجره ی زمانی نامید. گابور با حرکت پنجره مزبور در طول زمان ِ سیگنال دریافتی، تبدیل فوریه ی هر قسمت را محاسبه و آن را تبدیل فوریه ی پنجره ای نامید. درعین حال، این تبدیل دارای محدودیتِ ثابت بودن عرض پنجره است که منجر به عدم طبقه بندی بسامد هایی با طول زمانی متفاوت می شود. تبدیل موجک، روشی مشابه با تبدیل فوریه ی پنجره ای است، با این تفاوت که پنجره ی مورد استفاده دارای ابعاد و زمان های قرارگیری متفاوت است. در حقیقت، در تبدیل موجک بین ابعاد پنجره و بسامد تشخیص داده شده به نوعی ارتباط منطقی وجود دارد، به طوری که هر چه ابعاد پنجره کوچکتر باشد، موجک به شکل فشرده تری ظاهر شده و منجر به آشکارسازی جزئیات بیشتری از سیگنال می شود. از سوی دیگر مشابه روش تبدیل فوریه ی پنجره ای، جابه جایی پنجره باعث تشخیص نواحی مختلف بسامد می شود. در مجموع این روش منجر به معرفی یک دیدگاه زمان - بسامد از سیگنال می شود. در این پایان نامه، ابتدا در فصل اول به تعریف تبدیل فوریه، تبدیل فوریه ی پنجره ای و تبدیل موجک می پردازیم. در این فصل بدون وارد شدن به جزییات و ساختار ریاضی صرفاً به شیوه ی استفاده از آن ها و مقایسه ی تبدیل فوریه ی پنجره ای و تبدیل موجک با هم خواهیم پرداخت. بعد از آشنایی با این تبدیلات، در فصل دوم به طور مفصل به تعریف تبدیل موجک پیوسته و روابط ریاضی مربوط به آن، از جمله رابطه ی بازسازی و تفکیک واحد، می پردازیم. به منظور بررسی کاربردهایی از موجک در فیزیک اتمی ملکولی، در فصل سوم به محاسبه ی نمایه ی زمانی هماهنگ های مرتبه ی بالای لیزر با استفاده از تبدیل موجک پرداخته و سپس رادار و سونار را از دیدگاه موجک مورد بررسی قرار خواهیم داد. در فصل چهارم حالت های همدوس مورد استفاده در فصل پنجم را معرفی خواهیم کرد. از این حالت های همدوس می توان به حالت های همدوس استاندارد و تعمیم های آن، از جمله حالت های همدوس غیرخطی نوسانگر هماهنگ روی سطح تخت، حالت های همدوس گروه su(2( و تعمیم حالت های همدوس به روش کلاودر-پنسون-سیکس دنی یرز (kps) اشاره کرد. در فصل پنجم به معرفی ارتباط بین حالت های همدوس و موجک ها می پردازیم. در این فصل ابتدا شرط پذیرفتنی موجک مادر را در نمادگذاری دیراک به دست می آوریم و سپس رابطه ای کلی برای به دست آوردن موجک های چندجمله ای با استفاده از حالت همدوس کلی ارایه می دهیم. بعد از آن، موجک های کلاه مکزیکی را با به کارگیری حالت های همدوس غیرخطی نوسانگر هماهنگ بر روی سطح تخت به طور کامل به دست می آوریم. در ادامه، این کار را برای حالت های همدوس گروه su(2)و حالت های همدوس کلاودر-پنسون-سیکس دنی یرز (kps) محاسبه می کنیم.