تشخیص با مینیمم خطای حالتهای کوانتومی با استفاده از بهینه سازی محدب

یک مسئله اساسی در نظریه اطلاعات کوانتومی تشخیص حالت کوانتومی است. آن عبارت است از مسئله تمیز دادن مابین حالتهایی است که یک سیستم فیزیکی ممکن است داشته باشد. عموما تشخیص حالت نمی تواند بطور دقیق انجام شود. بنابراین یک مسئله تشخیص حالت کوانتومی عبارت است از تعیین اینکه کدام استراتژی اندازه گیری، احتمال حدس صحیح حالت را بیشینه می سازد. چنین استراتژیهای اندازه گیری استراتژیهای بهینه نامیده می شود. هدف اصلی در این پایان نامه بررسی پیرامون همین مسئله و یافتن اندازه گیری کوانتومی بهینه است که بتواند حالتهای کوانتومی را تا جایی که امکان پذیر است بطور دقیق تمیز دهد. با استفاده از روش بهینه سازی محدب و خانواده آنسامبلهای هلسترم، تشخیص با خطای کمینه (med) برای n حالت m-کیوبیتی معلوم بحث می شود. اندازه گیری بهینه (om) و احتمال موفقیت بیشینه (msp) برای تشخیص n حالت m-کیوبیتی مجزا و متساوی الاحتمال که در فاصله یکسانی از مرکز کره بلوخ تعمیم یافته قرار دارند و همگی روی یک صفحه و داخل یک نیم کره از کره بلوخ واقع نیستند، بدست آورده می شود. بعد از بدست آوردن نتایج معلوم برای از یکدیگر تمیز دادن دو حالت m-کیوبیتی، تشخیص بهینه سه حالت m-کیوبیتی بطور دقیق بحث شده و حل مسئله به شکل بسته پیدا می شود. مثالهایی برای حالتهای کیوبیتی داده می شوند مانند: (1) n حالت متساوی الاحتمال که روی خطی موازی با محور z قرار دارد، (2) n حالت متساوی الاحتمال که در فاصله مساوی از مرکز کره بلوخ قرار داشته و روی محیط دایره ای توزیع شده اند و غیره. با جایگزینی شرایط لازم و کافی برای ایجاد یک اندازه گیری با خطای کمینه با شرایطی معادل اما مناسبتر در شکل تساوی، مسئله تشخیص حالتها با احتمال خطای کمینه، مطالعه می شود. ثابت می شود که شرایط بهینگی و خانواده آنسامبلهای هلسترم معادلند. با کاربرد شرایط داده شده، تشخیص با خطای کمینه مابین n حالت کوانتومی متساوی الاحتمال تولید شده توسط یک مجموعه معین از عملگرهای یکانی، بررسی می شود. در موردی که عملگرهای یکانی، زیر مجموعه ای از یک نمایش تقلیل ناپذیر باشند،om و msp تشخیص، بطور دقیق تعیین می شوند. بویژه برای این مورد نشان داده می شود که برای حالتهای خالص متساوی الاحتمال، استراتژی om همان اندازه گیری ریشه_مربع (srm) است؛ در صورتی که برای حالتهای مخلوط srm بهینه نیست. برای موردیکه عملگرهای یکانی اشاره شده زیر مجموعه ای از یک نمایش تقلیل پذیر باشند، شرایط بهینگی بطور کلی حل نمی شود ولی om و msp را در برخی مثالهای مهم از حالتهای کوانتومی مخلوط مثلا، حالتهای m-کیوبیت کره بلوخ تعمیم یافته، حالتهای کوانتومی اسپین-j، و غیره، بدست می آوریم. با روش مشابه برای یک مجموعه، نتایج مشابهی برای مسئله تشخیص با خطای کمینه مابین n حالت کوانتومی که به دو مجموعه حالتهای متساوی الاحتمال تقسیم می شوند و هر کدام جداگانه توسط مجموعه معین متفاوتی از عملگرهای یکانی، ایجاد می شوند، حاصل می شود. حل این مسئله برای موارد حالتهای کیوبیتی ایجاد شده توسط عملگرهای چرخش معین حول محور z و حالتهای m-کیوبیت کره بلوخ تعمیم یافته، داده می شوند. بالاخره، با استفاده از شرایط لازم و کافی داده شده برای تشخیص بهینه حالتها، نشان داده می شود که اگر آنسامبل حالت کوانتومی، عملگرهای چگالی خالص مستقل خطی را شامل شود، آنگاه pom بهینه، عناصر خالص تصویرکننده متعامد بر یکدیگر هستند.