مدل بندی جریان آمد و شد همراه با وقفه هایی در سرویس

ترافیک روزافزون بزرگراهها مشکلات بسیاری ازقبیل تاخیرهای طولاتی،افزایش مصرف سوخت و اثرات منفی زیست محیطی در جوامع شهری بوجود آورده است..به همین دلیل محققان زیادی در حوزه های مختلف ،سعی در شناسایی عوامل بروز ترافیک در بزرگراه ها و جاده ها و همچنین تلاش در جهت برنامه ریزی برای حل این مشکلات نموده اند. به منظور ارتقاءکارائی سرویس دهی در بزرگراه ها به بررسی مدل صف بندی m/m/ در حالت پایا میپردازیم که حین سرویس دهی با وقفه هایی در سامانه مواجه می شودکه وقوع همین وقفه ها باعث ایجاد ترافیک در بزرگراه ها خواهدشد. البته می توان به کاربرد این مدل در صنایع مخابراتی نیز اشاره کرد.در استفاده از اینترنت ،هر چه تعدادمتقاضیان بیشتر شودنرخ سرویس دهی کاهش پیدا می کندو متقاضیانی که زودتر وارد سامانه شده اند،با اختصاص قسمتی از پهنای باند به خود نرخ سرویس سایر متقاضیان را کاهش می دهندو مدت زمان انتظا ر به مراتب افزایش می یابد. حال به بررسی این مدل در بزرگراه ها می پردازیم. مشخص است که فرآیند ورودماشین ها به بزرگراهها از توزیع پواسون با نرخ تبعیت می کند. فرآیند سرویس نیز توزیع نمایی با نرخ سرویس مارکوف آمیخته میباشد. به طور کلی سامانه های صف بندی مارکوف آمیخته سامانه هایی هستندکه در آن ها فرآیند اولیه ورود یا سرویس متاثر از تغییر وضعیت فرآیند مارکف ثانوی است . به این ترتیب فرآیند سرویس ابتدا از توزیع نمایی با پارامتر پیروی میکند. اما زمانی که سامانه دچار وقفه می شود ویا اینکه در امر سرویس دهی اختلالی بوجود می آید نرخ سرویس از به کاهش پیدا میکندکه .وقفه های ایجاد شده نیز دارای توزیع پواسون با نرخ f بوده و مدت زمان لازم برای از بین بردن وقفه هم توزیع نمایی با نرخ r دارد. سرویس دهنده در این مدل عبارتست از میزان فضای اشغال شده توسط وسیله نقلیه روی سطح بزرگراه. همچنین فرض بر اینست که طول تمام وسایل نقلیه یکسان است. در نتیجه اگر بزرگراهی به طول 20 کیلومتر داشته باشیم ،بااحتساب اینکه هر وسیله 1.8 متر طول داشته باشد بیش از 11000 ماشین میتوانند طول این بزرگراه را بپوشانند. در نتیجه بی نهایت در نظر گرفتن تعداد سرویس دهنده ها دورازذهن نیست.ابتدا به بررسی معادلات زاد-مرگ مدل می پردازیم. فرآیند بیان کننده وضعیت سامانه در زمان t است. به طوری که x(t)تعداد در سیستم وu(t) وضعیت سامانه را نشان می دهد. اگر در بزرگراه با یک حادثه مواجه باشیم u(t)=fخواهد بود. و اگر هیچ اتفاقی در بزرگراه رخ نداده باشد u(t)=nخواهد بود . ذکر این نکته لازم است که وقتی سامانه در حالتfقرار دارد همه سرویس دهنده ها نرخ سرویس خود را کاهش می دهند تا وقفه ی ایجاد شده در بزرگراه برطرف گردد. احتمال حالت پایای قرارگرفتن سامانه در وضعیت (i,f)را با واحتمال حالت پایای قرارگیری سامانه در وضعیت(i ,n) را هم با نشان می دهیم. تابع مولد احتمال متغیر تعداد در سامانه به صورت حاصلضرب دو عبارت است که بیانگر این مطلب می باشد که متغیر تصادفی تعداد در سامانه به صورت حاصلجمع دو متغیر تصادفی مستقل است. متغیر اول دارای توزیع پواسون است. و متغیر دوم دارای توزیع دوجمله ای منفی تعمیم یافته است.