درآمدی بر سه- جبرهای لی و نظریه blg

چون جبرهای 3- لی که در نظریه blg به کار رفته است مورد خاصی از جبرهای n- لی (3= n) می باشند، بنابراین در فصل اول پایان نامه به جبرهای n- لی پرداخته ایم؛ در بخش اول این فصل به مروری کوتاه از مکانیک نامبو و بیان ویژگی براکتهای کلاسیک نامبو و تبدیلات کانونیک در فضای فاز 3 - بعدی پرداخته ایم. در بخش دوم همین فصل به جبرهای n- لی که بعد از تعمیم نامبو در مورد براکتهای پواسون، توسط فیلی پف مطرح شد، پرداخته و با بیان تعاریف و اتحاد اساسی، جبرلی همبسته به آنها را معرفی کرده ایم، همانطور که بیان شد چون اخیراً نشان داده شده است که سه جبرهای لی ساختار جبری مربوط به نظریه های میدانهای ابرهمدیس در سه بعد می باشند، به طوری که این نظریه توصیف کننده دینامیک انرژی پایین مربوط به غشاهای چندگانه m2 در نظریه m است، همین امر مطالعه این نوع جبرها را دارای اهمیت می کند، ما نیز در ادامه فصل اول، به جبرهای 3- لی پرداخته و تعاریف و اتحادهای مربوطه و جبرلی همبسته به آنها را بیان کرده ایم؛ و بالاخره فصل اول را با طرح مثالهایی از جبرهای3- لی به پایان برده ایم. در فصل دوم که در واقع می توان آن را مهمترین فصل پایان نامه نیز دانست به مبحث جدید دوجبرهای n- لی و متعاقباً دوجبرهای 3- لی پرداخته ایم. همانگونه که اشاره شد مطالعه جبرهای 3- لی و در ادامه کوانتش مربوط به آنها از اهمیت خاصی برخوردار است، از طرفی روش صحیح کوانتومی کردن چنین جبرهایی تعریف ساختار دو جبر بر روی این گونه جبرهاست، که این کار تا به حال انجام نشده است و ما در این فصل به این مسئله مهم پرداخته و برای اولین بار این کار را انجام داده ایم؛ برای این کار ابتدا مبحث آشنای دوجبرهای لی معمولی را بازگو کرده و با بررسی کوهمولوژی جبرهای لی، تعریف کلی از دوجبرهای لی و تناظر آنها با سه گانه منین را بیان کرده ایم. سپس به تعریف ساختارهای دوجبر، بر روی جبرهای n- لی پرداخته و با استفاده از کوهمولوژی مختلط جبرهای n- لی تمام تعاریف مربوط به دوجبرهای لی معمولی را به دوجبرهای n- لی بسط داده و تمام قضایا در مورد دوجبرهای لی را به دوجبرهایn- لی تعمیم داده و به اثبات رسانده ایم. همچنین مهمترین قسمت این فصل یعنی تناظر میان دوجبرهای n- لی و دوجبرهای لی همبسته را به صورت قضیه ای مطرح و اثبات نموده ایم. البته لازم به ذکر است، در ادامه تمامی این مطالب را در حالت خاص 3= n مورد مطالعه قرار داده ایم. سرانجام در فصل سوم به بیان نظریه blg پرداخته و تبدیلات ابرتقارن مربوط به آنها را معرفی کرده و با بررسی تبدیلات حدسی ابر تقارن و بسته بودن جبر، به محاسبه معادلات حرکت و معرفی لاگرانژین مربوط به سیستم پرداخته ایم. البته کار بگـر و لامبــرت که ما در اینجا به مـــرور آن اقدام کرده ایم، تقریباً به صورت عکس انجام گرفته است، آنها به جای استفاده از حدس لاگرانژین، از حدس تبدیلات ابر تقارن و سپس محاسبات مربوط به بسته بودن جبر و به دست آوردن معادلات حرکت استفاده کرده، آنگاه از روی اطلاعات موجود لاگرانژینی را برای سیستم انتخاب کرده اند که شرایط به دست آمده از قبل را برآورده کند.