معرفی و کاربردهایی از آنالیز غیراستاندارد در مکانیک

اعداد بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ از زمانهای قدیم برای اثبات قضایا محاسبهء سطوح و غیره در ریاضیات و فیزیک مورد استفاده قرار می گرفتند. ولی بعدا" به دلیل تناقضات منطقی از ریاضیات کنار گذاشته شدند تا اینکه در سال 1966 توسط ابراهام رابینسون مبانی منطقی محکمی، که سبب احیاء مجدد آنها شد، برای آنها ارائه گردید. در این سال رساله آنالیز غیر استاندارد یا به عبارت دیگر اعداد بی نهایت کوچک و بینهایت بزرگ به روشی دقیق و اصولی معرفی می گردند. و سپس کاربردهایی از آن در مکانیک بیان می گردد.این مجموعه مشتمل بر هفت فصل می باشد. در فصل اول بمنظور معرفی آنالیز غیراستاندارد، توضیحاتی آورده شده است . در فصل دوم، با معرفی رابطهء هم ارزی مناسبی روی مجموعهء کلیه دنباله های تعریف شده روی r، اعداد بی نهایت کوچک و بینهایت بزرگ معرفی می گردند. به این ترتیب مجموعهءr * که توسیعی از r، شامل اعداد حقیقی اعداد بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ است ، بدست می آید. سپس توابع، روابط و جملات صحیح در r به r * توسعه داده می شدند. و به این ترتیب ثابت می شود که همان روابطی که در مجموعهءاعداد حقیقی مورد استفاده قرار می گیرند را می توان برای این مجموعه توسعه یافته نیز به کار برد. در فصل سوم، کابردهائی از این روش برای اثبات بعضی از قضایای مقدماتی حساب دیفرانسیل و انتگرال را میتوان براساس آنالیزغیراستاندارد بنیان نهاد. در فصل چهارم یک روش اصولی برای بیان آنالیز غیراستاندارد ارائه گردیده است . در این روش با اضافه نمودن سه اصل استنتاجی دیگر به اصول نظریه مجموعه ها، آنالیز غیر استاندارد را میتوان نتیجه گرفت . در فصل پنجم، دو دیدگاه دیگربه طور مختصر بیان شده است . این دو دیدگاه یکی دیدگاه رابینسون و دیگری دیدگاه لوتز است . در فصل ششم کاربردهائی از آنالیز غیراستاندارد آورده شده است . این کاربردها نشان دهنده آنست که این روش می تواند باعث ساده تر شدن اثباتها یا ارائه تعابیرمناسبتری برای پدیده های فیزیکی گردد. کاربردهائی که درنظر گرفته شده اند عبارتند از : تابع گرین غیر استاندارد و کاربرد آن در معادله شرودینگر، پدیده غلتش ، معادلهء ارتعاش تار، اثباتی برای اصل سن و نان در تئوری الاستیسیته و اصلی مشابه آن در سیالات . درفصل هفتم تاریخچه مختصری از حساب دیفرانسیل و انتگرال در ارتباط با آنالیز غیراستاندارد آورده شده است .