Collinearity between the Shapley value and the egalitarian division rules for cooperative games

For each cooperative n-person game v and each h 9 { 1, 2 . . . . . n !, let v h be the average worth of coalitions of size h and v~ the average worth of coalitions of size h which do not contain player is N. The paper introduces the notion of a proportional average worth game (or PAWgame), i.e., the zero-normalized game v for which there exist numbers ch 9 ~ such that D,-v~=ch (vn_l-vi_]) for all h 9 {2, 3 . . . . . n 1 }, and is N. The notion of average worth is used to prove a formula for the Shapley value of a PAWgame. It is shown that the Shapley value, the value representing the center of the imputation set, the egalitarian nonseparable contribution value and the egalitarian non-average contribution value of a PAW-game are collinear. The class of PAW-games contains strictly the class of k-coalitional games possessing the collinearity property discussed by Driessen and Funaki (1991). Finally, it is illustrated that the unanimity games and the landlord games are PAW-games. Zusammenfassung. Sei v e i n kooperatives n-Personenspiel und sei h 9 { 1, 2 . . . . . n }. Mit v h bezeichnen wir die mittlere Auszahlung aller Koalitionen der GraBe h und mit v~ die mittlere Auszahlung aller Koalitionen der Gr6Be h, die den Spieler i e N nicht enthalten. In dieser Arbeit, ftihren wir den Begriff des Spieles mit proportionaler mittlerer Auszahlung (oder PMA-Spiel) ein. Diese sind null-reduzierte Spiele v, fiir die Zahlen ch 9 ~ existieren, sodag die Beziehung i Vh--Vh=C h (Vn_l--V~z_l) ffir jedes h 9 {2, 3 . . . . . n 1 } und ie N gilt. Der Begriff der mittleren Auszahlung wird dann benutzt, um eine Formel ftir den Shapley-Wert der PMA-Spiele abzuleiten. Wit zeigen, dab der Shapley-Wert, und die durch das Zentrum der Imputationsmenge, die gleichmfiBigen nicht-separablen Beitrage, bzw. gleichmfiBigen nicht-gemittelten Beitrfige definierten Werte der PMA-Spiele kollinear sind. Die Klasse aller PMA-Spiele enthfilt im strengen Sinne die Klasse aller kKoalitionsspiele, die die Kollinearit~tseigenschaft haben (Driessen und Funaki, 1991). Schlieglich zeigen wir, dab Correspondence to: T. Driessen die Einstimmigkeitsspiele und die Grundbesitzerspiele auch PMA-Spiele sind.