Finite wordlength controller realisations using the specialised implicit form

A specialized implicit state-space representation is introduced to deal with finite wordlength effects in controller implementations. This specialized implicit form provides a macroscopic description of the algorithm to be implemented. So, it constitutes a unifying framework, allowing to encompass various implementation forms, such as the δ-operator, the ρDirect Form II transposed, observer-based and many other realizations considered usually separately in the literature. Different measures quantifying the finite wordlength effects on the overall closed loop behaviour, are defined in this new context. They concern both stability and performance. The gap with the infinite precision case is evaluated classically through the coefficient sensitivity and roundoff noise analysis. The problem of determining a realization with minimum finite wordlength effects can subsequently be solved using appropriate numerical methods. The approach is illustrated with two examples. Key-words: Digital Control, Finite Wordlength Effects, Digital Controller Implementation, Optimal Realization ∗ CAIRN Project, INRIA/IRISA France † IRCCyN, UMR CNRS 6597, 1 rue de la Noë, 44321 Nantes, France ‡ Department of Aerospace Science, Cranfield University, UK in ria -0 03 45 49 0, v er si on 1 9 D ec 2 00 8 Modélisation des régulateurs avec la forme implicite spécialisée, en vue d’une implantation à précision finie. Résumé : Une forme d’état implicite spécialisée est présentée pour étudier les effets de l’implantation en précision finie des régulateurs. Cette forme permet une description macroscopique des algorithmes à implanter. Elle constitue un canevas unificateur permettant de décrire les différentes structures utilisées pour l’implantation, telles que les réalisations avec l’opérateur δ, la forme directe II en ρ, la forme d’état-observateur et bien d’autres formes qui sont d’habitude traitées séparément dans la littérature. Différentes mesures quantifiant les effets de l’implantation sur le comportement en boucle fermée sont définis dans ce contexte. Elles concernent aussi bien la stabilité que la performance. L’écart entre la réalisation à précision infinie et la réalisation à précision finie est évaluée selon la mesure de sensibilité des coefficients et la mesure du bruit de quantification. Le problème consistant à trouver une réalisation dont l’implantation amène un minimum de dégradation peut alors est résolut numériquement. Cette approche est illustrée avec deux exemples. Mots-clés : Commande numérique, Précision finie, Implantation numérique de régulateur, réalisations optimales in ria -0 03 45 49 0, v er si on 1 9 D ec 2 00 8 Finite Wordlength Controller Realizations 3