Superposition with subunitary powers in Sobolev spaces

Let 0 < a < 1 and set Φ(t) = |t|, ∀ t ∈ R. Let 1 < p < ∞ and n ≥ 1. We prove that the superposition operator u 7→ Φ(u) maps the Sobolev space W (R) into the fractional Sobolev space W (R). We also investigate the case of more general nonlinearities. Résumé. Superposition avec des puissances sousunitaires dans les espaces de Sobolev. Pour 0 < a < 1, soit Φ(t) = |t|, ∀ t ∈ R. Soient 1 < p < ∞ et n ≥ 1. Nous montrons que l’opérateur de superposition u 7→ Φ(u) envoie l’espace de Sobolev W (R) dans l’espace de Sobolev fractionnaire W (R). Nous examinons aussi la superposition avec des nonlinéarités plus générales.