Partial Differential Equations Γ -convergence and Sobolev norms

We study a Γ -convergence problem related to a new characterization of Sobolev spaces W1,p(RN) (p > 1) established in H.-M. Nguyen [H.-M. Nguyen, Some new characterizations of Sobolev spaces, J. Funct. Anal. 237 (2006) 689–720] and J. Bourgain and H.-M. Nguyen [J. Bourgain, H.-M. Nguyen, A new characterization of Sobolev spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 75–80]. We can also handle the case p = 1 which was out of reach previously. To cite this article: H.-M. Nguyen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007). © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Γ -convergence et normes de Sobolev. On étudie un problème de Γ -convergence qui apparaît naturellement en liaison avec les travaux de H.-M. Nguyen [H.-M. Nguyen, Some new characterizations of Sobolev spaces, J. Funct. Anal. 237 (2006) 689–720], et J. Bourgain et H.-M. Nguyen [J. Bourgain, H.-M. Nguyen, A new characterization of Sobolev spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006), 75–80] concernant des nouvelles caractérisations des espaces de Sobolev W1,p(RN) (p > 1). On peut aussi traiter le cas p = 1 qui était inaccessible précédemment. Pour citer cet article : H.-M. Nguyen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007). © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée Soient p 1 et δ > 0. Posons Iδ(g)= ∫ ∫ RN×RN |g(x)−g(y)|>δ δ |x − y|N+p dx dy, ∀g ∈ L (R). Ci-après | | désigne la norme euclidienne de R . Récemment la caractérisation suivante des espaces de Sobolev a été établie dans [10, Théorème 2] et [3, Théorème 1] : Théorème 1. Soient N 1, 1 <p <+∞, et g ∈ L(R). Alors g ∈W 1,p(RN) si et seulement si lim inf δ→0+ Iδ(g) <+∞. E-mail address: [email protected]. 1631-073X/$ – see front matter © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2007.11.005 680 H.-M. Nguyen / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 679–684