Left-inversion of combinatorial sums

The inversion of combinatorial sums is a fundamental problem in algebraic combinatorics. Some combinatorial sums, such as a n = P k d n;k b k , can not be inverted in terms of the orthogonality relation because the innnite, lower triangular array P = fd n;k g's diagonal elements are equal to zero (except d 0;0). Despite this, we can nd a left-inverse P such that P P = I and therefore are able to left-invert the original combinatorial sum, and thus obtain b n = P k d n;k a k. R esum e L'inversion des sommes combinatoires est un probl eme fondamental dans l'alg ebre combina-toire. Certaines sommes combinatoires, par exemple a n = P k d n;k b k , ne peuvent pas ^ etre inverties selon la r elation d'orthogonalit e, parce que les el ements sur la diagonale de la matrice triangulaire inf erieure P = fd n;k g sont nuls (sauf d 0;0). Malgr e cela, on peut bien souvent d eenir une matrice left-inverse P telle que P P = I et, par cons equent , on peut left-invertir la somme combinatoire d'origine, en obtenant b n = P k d n;k a k .