Directed Binary Hierarchies and Directed Ultrametrics

Directed binary hierarchies have been introduced in order to give a graphical reduced representation of a family of association rules. This type of structure extends in a very specific way that underlying binary hierarchical classification. In this paper an accurate formalization of this new structure is studied. A binary directed hierarchy is defined as a set of ordered pairs of subsets of the initial individual set satisfying specific conditions. New notion of directed ultrametricity is studied. The main result consists of establishing a bijective correspondence between a directed ultrametric space and a directed binary hierarchy. Moreover, an algorithm is proposed in order to transform a directed ultrametric structure into a graphical representation associated with a directed binary hierarchy. Key-words: Oriented ascendant hierarchical classification, Ultrametric spaces, Association rules, Graphical representation ∗ INRIA Rennes Bretagne Atlantique, and University of Rennes 1, France.Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cédex — [email protected] † Université de Nantes, Laboratoire d’Informatique de Nantes Atlantique, Equipe COD, Site Polytech’Nantes, La Chantrerie, B.P. 50609, 44306 Nantes Cédex 3, France [email protected] ‡ Les corrections portées suite à une relecture attentive sont peu nombreuses, mineures et de pure forme : des espaces blancs oubliés, des parenthèses oubliées, remplacement d’un terme qualificatif par un autre plus approprié, remplacements de crochets par des parenthèses, etc ... Hiérachies binaires et Espaces ultramétriques orientés. Résumé : Les hiérarchies binaires orientées ont été introduites pour fournir une représentation graphique orientée d’une famille de règles implicatives d’association. Une telle structure étend d’une façon très spécifique celle sous jacente aux arbres binaires hiérarchiques de classification. Nous proposons ici une formalisation précise de ce nouveau type de structure. Une hiérarchie binaire orientée est définie comme une famille de couples (ordonnés) de parties de l’ensemble à organiser remplissant des conditions spécifiques. Une nouvelle notion d’ultramétricité binaire orientée est construite. le résultat fondamental consiste en la mise en correspondance bijective entre une structure binaire ultramétrique orientée et une hiérarchie binaire orientée. De plus, un algorithme est proposé pour passer de la structure ultramétrique à celle graphique d’un arbre binaire orienté et valué. Mots-clés : Classification ascendante hiérarchique orientée, Espaces ultramétriques, Règles d’association, Représentation graphique Directed binary hierarchies and directed ultrametrics 3