Constrained extremal problems in the Hardy space H2 and Carleman's formulas

We study some approximation problems on a strict subset of the circle by analytic functions of the Hardy space H of the unit disk (in C), whose modulus satisfy a pointwise constraint on the complentary part of the circle. Existence and uniqueness results, as well as pointwise saturation of the constraint, are established. We also derive a critical point equation which gives rise to a dual formulation of the problem. We further compute directional derivatives for this functional as a computational means to approach the issue. We then consider a finite-dimensional polynomial version of the bounded extremal problem. Key-words: Hardy spaces, analytic functions, approximation, bounded extremal problems, Carleman formulas. ∗ INRIA, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, FRANCE Problèmes extrémaux contraints dans l’espace de Hardy H et formules de Carleman Résumé : Nous étudions des problèmes d’approximation sur un strict sousensemble du cercle par des fonctions analytiques de l’espace de Hardy H du disque unité (de C), soumises en module à une contrainte ponctuelle sur la partie complémentaire du cercle. Des résultats d’existence, d’unicité et de saturation de la contrainte sont établis, ainsi qu’une équation aux points critiques qui permet de proposer une formule de dualité. Nous considérons enfin une version polynômiale (de dimension finie) de ces problèmes extrémaux bornés. Mots-clés : Espaces de Hardy, fonctions analytiques, approximation, problèmes extrémaux bornés, formules de Carleman. Constrained extremal problems and Carleman’s formulas 3