Time Reversal for Classical Waves in Random Media

We propose a mathematical theory for the refocusing properties observed in time-reversal experiments, where classical waves propagate through a medium, are recorded in time, then time-reversed and sent back into the medium. The salient feature of such experiments is that the refocusing quality of the timereversed reemitted signals is greatly enhanced when the underlying medium is heterogeneous. Based on the Wigner transform formalism, we show that random media indeed greatly improve refocusing. We analyze two different types of random media, where in the limit of high frequencies, the Wigner transform satisfies a random Liouville equation or a linear transport equation. Renversement du temps pour la propagation d’ondes classiques en milieu aléatoire Résumé. Dans des expériences de renversement temporel, où un signal acoustique qui se propage dans un milieu sous-jacent, est enregistré en temps, puis subit un renversement temporel et est réémis dans le milieu, il a été observé que le signal refocalise d’autant mieux à l’emplacement de la source initiale que le milieu est hétérogène. Nous donnons une explication mathématique de ce phénomène fondée sur le formalisme de la transformée de Wigner. Nous obtenons deux exemples de refocalisation, en fonction du type de milieu aléatoire considéré, selon que la transformée de Wigner, à la limite des hautes fréquences, satisfait soit une équation de Liouville avec coefficients aléatoires, ou une équation de transport. Version française abrégée Dans cette note, nous nous intéressons à la propagation d’ondes classiques en milieu aléatoire et à leurs propriétés de refocalisation après renversement temporel. Dans les expériences conduites par M. Fink [6] et ses collaborateurs, une source localisée émet des ondes acoustiques à travers un milieu hétérogène. Le signal est enregistré en temps par des capteurs localisés en espace et positionnés loin de la source, puis renversé en temps et enfin retransmis dans le milieu (ce qui est arrivé en dernier repart en premier). Dans ces expériences, il a été observé le phénomène suivant, qui à première vue pourrait parâıtre contre-intuitif : le signal réémis refocalise à l’emplacement de la source initiale d’autant mieux que le milieu est hétérogène, alors que la qualité de la refocalisation est très mauvaise en milieu homogène. L’explication réside dans la multiplicité des “chemins” menant de la source aux capteurs. Plus le milieu est aléatoire, plus il donne d’informations sur la source aux capteurs, pourvu que les enregistrements soient suffisamment longs. Plusieurs travaux sur ce phénomène existent dans la littérature physique [4, 6, 7]. Les résultats mathématiques existants portent sur le cas mono-dimensionnel [3] et le régime de faisceaux étroits [2]. Dans cette note, nous proposons une théorie qui explique le phénomène de refocalisation pour des ondes classiques à hautes fréquences en milieu multi-dimensionnel. Notre approche, s’inspirant de [2], se fonde sur la transformée de Wigner, définie en (4), qui permet l’analyse des corrélations de noyaux de Green en des points voisins. Nous pouvons écrire le signal retransmis après renversement du temps en fonction de cette transformée de Wigner (5). Selon les caractéristiques du milieu aléatoire, la transformée de Wigner satisfait différentes équations limites quand la fréquence caractéristique des ondes tend vers l’infini. Nous analysons les deux cas où nous obtenons à la limite soit une équation de Liouville (limite semiclassique), soit une équation de transport de type Boltzmann (limite de couplage faible). Dans le premier cas, nous sommes capables d’obtenir une dérivation rigoureuse mathématiquement. La formule de refocalisation est donnée en (8)-(12). Dans le second cas, la dérivation de la formule de reconstruction (8)-(14) est formelle en certains endroits. La théorie permettant d’obtenir l’équation de transport limite n’est complète que pour l’équation (scalaire) de Schrödinger [5, 14]. De plus elle nécessite de moyenner sur les réalisations du milieu aléatoire, bien que les expériences physiques montrent que ce soit superflu. 1. Refocusing in time-reversal Time-reversal experiments [6] can be briefly described as follows. A point source signal is sent through an inhomogeneous medium and is recorded by a spatially localized array of receiverstransducers. The signal is subsequently reversed in time and reemitted back into the medium; that is, the part of the signal that was recorded last is sent back first. The refocusing of the reemitted signal is then observed on the spot of the original source. Refocusing in a homogeneous medium is poor when only a few receivers are used to record the signal. The most striking and somewhat counterintuitive observation is that inhomogeneities in the medium enhance the refocusing effects. This is because waves recorded at the time-reversal array have sampled a larger part of the medium than in the homogeneous case and carry more information about the source location. Furthermore, the refocused signal in a random medium is self-averaging, that is, independent of the realization of the random medium. Many time-reversal experiments have been conducted in the recent past and studied theoretically [4, 6, 7]. Mathematical studies have concentrated so far on the one space dimension case [3] and on the narrow beam approximation [2, 12]. In this note we present an analysis of the enhanced refocusing property in genuinely three dimensional heterogeneous media in the regimes of random geometrical acoustics and radiative transport. Our main tool is the asymptotic analysis of the equation for the