Deux Remarques sur un Théorème de S. Eilenberg

— We give hère a proof of the « cross section theorem » that is slightly différent from the original one. This allows us not only to show the existence of a rational cross section ofany rational set but also to describe such a cross section by means ofthe lexicographie ordering of the words. With some examples we also show that if we use the ordering ofwords by length, instead of the lexicographie ordering, the cross section we get is no more rational. Dans son ouvrage : Automata, Languages, and Machines [3], S. Eilenberg énonce et établit le résultat suivant, intitulé « Cross-Section Theorem » (theorem IX, 7.1, p. 256): THÉORÈME 1 : Soit 0 un homomorphisme de A* dans X*. Pour tout ensemble rationnel R de A* il existe un ensemble rationnel T, inclus dans R, tel que 0 est une bijection de T sur Q{R). Ce résultat est une des clefs pour l'étude des relations rationnelles : on en déduit en particulier que les fonctions rationnelles sont non ambiguës (cf. [3 ]). Son extension à d'autres applications que les homomorphismes entre monoïdes libres apporte un outil nouveau pour l'étude des langages algébriques déterministes (cf. [5, 6]). Mon propos ici est d'établir une propriété de la construc(*) Reçu en juin 1982. C) Laboratoire d'Informatique Théorique et Programmation, C. N. R. S., Paris et Research Institut for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto. R.A.I.R.O. Informatique théorique/Theoretical Computer Science, 0399-0540/1983/23/$ 5,00 © AFCET-Bordas-Dunod