Löschungen in zufälligen binären Suchbäumen - Eine Geschichte der Irrungen

Die üblichen Annahmen für die average-case Analyse von binären Suchbäumen (BSB) sind zufällige Einfügungen (random insertions) und zufällige Löschungen (random deletions). In einem durch zufällige Einfügungen aufgebauten BSB haben die Zugriffsoperationen eine erwartete Zeitkomplexität von und schon die ersten Publikationen über BSB enthalten wesentliche analytische Ergebnisse für solche ‘random’ BSB. Wenn es allerdings um zufällige Löschungen und um ihre Interaktion mit zufälligen Einfügungen geht, scheint die Analyse um einiges komplizierter zu werden. Das kann man jedenfalls den einschlägigen Publikationen seit 1962 entnehmen, die es berechtigt erscheinen lassen, in diesem Zusammenhang von einer ‘Geschichte der Irrungen’ zu sprechen. Dieser Beitrag geht etwas näher auf diese Geschichte ein. 1 Einführung und Grundlagen Binäre Suchbäume (BSB) gehören zu den prominentesten und am häufigsten eingesetzten Datenstrukturen für Symboltabellen-Algorithmen [Knu98, 426]. Die üblichen Suchund Einfügeroutinen für BSB (vgl. etwa [Knu98, 429]) eignen sich sehr gut für diesen Zweck, besonders wenn neben der Suche bzw. dynamischen Einfügung von ‘Symbolen’ auch die effiziente lineare Abarbeitung der Symbole entsprechend ihrer Sortierordnung möglich sein soll, beispielsweise zur Ausgabe einer sortierten Liste der Symbole. Die ersten Publikationen über binäre Suchbäume stammen von P. F. Windley [Win60], A. D. Booth und A. J. T. Colin [BC60] und T. N. Hibbard [Hib62]. Jede dieser (voneinander unabhängigen) Arbeiten enthält eine Beschreibung des Einfügens und Suchens in BSB und der dabei zu erwartenden Anzahl der Vergleiche.1 Hibbard hat als erster gezeigt, dass auch Löschungen ohne größere Schwierigkeiten realisiert werden können [Hib62], womit sich der natürliche Anwendungsbereich von BSB beträchtlich erweitert. In [Knu98, 471–475] wird dargestellt, wie durch eine kleine Mo1Windley’s Paper enthält auch eine ausführliche Diskussion von ‘Tree Insertion Sorting’. Booth und Colin schlagen schon eine Methode zur Balancierung vor. Als “Vorläufer” werden auch A. I. Dumey [Knu98, 435], D. J. Wheeler und C. M. Berners-Lee genannt [Dou59, 5], [Win60, 84].