Monodromies of Algebraic Connections on the Trivial Bundle

In this note, we study monodromies of algebraic connections on the trivial vector bundle. We prove that on a smooth complex affine curve, any monodromy arises as the underlying local system of an algebraic connection on the trivial bundle. We give a generalization of this for rank one monodromies in higher dimension. Monodromies des connexions algébriques sur le fibré trivial Résumé. Dans cette note, nous étudions la monodromie de connexions algébriques sur le fibré vectoriel trivial. Nous prouvons que sur une courbe affine, lisse, complexe, toute monodromie est sous-jacente à une connexion algébrique sur le fibré trivial. Nous donnons une généralisation de ceci aux monodromies de rang un en dimension supérieure. Version française abrégée Soit U une variété affine lisse sur C. Deligne a montré dans [3] qu’il y a une correspondence biunivoque entre les sytèmes locaux sur U et les fibrés vectoriels algébriques à connexion plate, régulière singulière à l’infini. Si on supprime la condition de régularité à l’infini, alors il y a beaucoup de connexions plates algébriques à monodromie fixée. Dans [4], il prouve que si dimU = 1, toute monodromie de rang 1 est sous-jacente à une connexion algébrique sur le fibré trivial. Dès lors, les singularités à l’infini peuvent être irrégulières. Théorème 1 (Deligne [4]). Sur une courbe affine lisse complexe U , tout caractère ρ du groupe fondamental π1(Uan) est sous-jacent à une connexion algébrique sur le fibré trivial. Idée de la preuve.– On identifie H dR (U) = H(Uan,C) ([5]), ce qui associe à la classe de de Rham de ω dans Γ(U,Ω U ) son exponentielle exp[ω] dans H(Uan,C ), qui correspond à la monodromie sous-jacente à la connexion (O, d−ω). L’annulation de H(Uan,Z) permet de conclure. c.q.f.d. Nous donnons une version légr̀ement différente du théorème 1 dans le corollaire suivant. Corollaire 2. Soit U une variété affine lisse complexe. Les conditions suivantes sont équivalentes. 1) H(Uan,Z) n’a pas de torsion. 2) Tout caractère ρ du groupe fondamental π1(Uan) est sous-jacent à une connexion algébrique sur le fibré trivial. Date: 25. June, 2000.