Pattern-Avoidance in Binary Fillings of Grid Shapes (short version)

A grid shape is a set of boxes chosen from a square grid; any Young diagram is an example. This paper considers a notion of pattern-avoidance for 0-1 fillings of grid shapes, which generalizes permutation pattern-avoidance. A filling avoids some patterns if none of its sub-shapes equal any of the patterns. We focus on patterns that are pairs of 2 × 2 fillings. For some shapes, fillings that avoid specific 2 × 2 pairs are in bijection with totally nonnegative Grassmann cells, or with acyclic orientations of bipartite graphs. We prove a number of results analogous to Wilfequivalence for these objects — that is, we show that for certain classes of shapes, some pattern-avoiding fillings are equinumerous with others. Résumé. Une forme de grille est un ensemble de cases choisies dans une grille carrée; un diagramme de Young en est un exemple. Cet article considère une notion de motif exclu pour un remplissage d’une forme de grille par des 0 et des 1, qui généralise la notion correspondante pour les permutations. Un remplissage évite certains motifs si aucune de ses sous-formes n’est égale à un motif. Nous nous concentrons sur les motifs qui sont des paires de remplissages de taille 2 × 2. Pour certaines formes, les remplissages évitant certaines paires de taille 2 × 2 sont en bijection avec les cellules de Grassmann totalement positives, ou bien avec les orientations acycliques de graphes bipartis. Nous démontrons plusieurs résultats analogues à l’équivalence de Wilf pour ces objets — c’est-à-dire, nous montrons que, pour certaines classes de formes, des remplissages évitant un motif donné sont en nombre égal à d’autres remplissages.