Implicit Euler numerical simulations of sliding mode systems

In this report it is shown that the implicit Euler time-discretization of some classes of switching systems with sliding modes, yields a very good stabilization of the trajectory and of its derivative on the sliding surface. Therefore the spurious oscillations which are pointed out elsewhere when an explicit method is used, are avoided. Moreover the method (an event-capturing, or time-stepping algorithm) allows for accumulation of events (Zeno phenomena) and for multiple switching surfaces (i.e., a sliding surface of codimension > 2). The details of the implementation are given, and numerical examples illustrate the developments. This method may be an alternative method for chattering suppression, keeping the intrinsic discontinuous nature of the dynamics on the sliding surfaces. Links with discrete-time sliding mode controllers are studied. Key-words: Switching systems, Filippov’s differential inclusions, complementarity problems, backward Euler algorithm, sliding modes, maximal monotone mappings, mixed linear complementarity problem, ZOH discretization. ∗ [email protected] † [email protected] in ria -0 03 74 84 0, v er si on 2 10 A pr 2 00 9 Simulations numriques par la mthode d’Euler implicite des systmes modes glissants Résumé : Dans ce rapport, on montre que la discrtisation en temps de type Euler implicite conduit une trs bonne stabilisation d’une classe de systmes commuts avec des modes glissants, et de leurs drives sur la surface de glissement. Les oscillations artificielles qui sont gnralement mentionnes pour l’implmentation discrte de ce type de systmes sont vites. De plus, la mthode (de type “event-capturing” ou “time–stepping”) permet de traiter des accumulations d’vnements (Phnomne de Zenon) et des surfaces de commutations multiples (i.e. des surfaces de glissement de codimension > 2). Dans ce rapport, les dtails de l’implmentation sont donns et des exemples numriques illustrent ses proprits. Cette mthode peut tre une alternative aux mthodes complexes de suppression des oscillations, en gardant la nature intrinsquement discontinue de la dynamique sur les surfaces de glissement. Le lien avec les commandes modes glissants en temps discret est tudi. Mots-clés : Systmes commuts, Inclusion Diffrentielles de Filippov, Problmes de complmentarit, Mthode d’Euler implicite, modes glissants, oprateurs, maximaux monotones, Problme linaire de complmentarit mixte, Discrtisation Bloqueur d’Ordre Zro (BOZ) in ria -0 03 74 84 0, v er si on 2 10 A pr 2 00 9 Implicit Euler numerical simulations of sliding mode systems 3