Completeness for Parallel Access to NP and Counting Class Separations

Die Dissertation beschäftigt sich mit Problemen, die vollständig für die Komplexitätsklasse P ‖ sind, sowie mit der Separation von Zählklassen. P NP ‖ ist die Klasse der Probleme, die sich effizient mit parallelem Zugriff auf NP lösen lassen. Wir untersuchen die Komplexität von mit Wahlsystemen assoziierten Problemen. Wahlsysteme sind Vorschriften, nach denen aus einer Kandidatenmenge die Gewinner einer Abstimmung bestimmt werden können. Wir beweisen, daß das GewinnerProblem für die Wahlsysteme von Kemeny und Young beide vollständig für die Klasse P NP ‖ sind. Weiterhin betrachten wir zwei prominente Heuristiken für die Approximation des NP-vollständigen Problems der minimalen Knotenüberdeckung. Wir weisen nach, daß gewisse Entscheidungsprobleme, die mit der Qualität der Approximation durch diese Heuristiken in Zusammenhang stehen, vollständig für P ‖ sind. Der letzte Teil der Dissertation beantwortet Fragen, die in der einflußreichen Arbeit von Fenner, Fortnow und Kurtz im Jahre 1994 aufgeworfen wurden: Wir zeigen, daß die Zählklassen LWPP und WPP nicht uniform gap-definierbar sind. Desweiteren konstruieren wir ein Orakel, relativ zu dem WPP nicht abgeschlossen unter polynomialzeitbeschränkter Turing-Reduzierbarkeit ist. Dies hat zur Folge, daß ein Beweis für die Gleichheit der ähnlich definierten Klassen LWPP und WPP nichtrelativierbar sein muß. Wir erhalten diese Resultate durch Anwendung einer bekannten Technik, bei der Orakel-Turingmaschinen in multilineare Polynome mit kleinem Grad kodiert werden. Wir beweisen dazu eine neue kombinatorische Eigenschaft solcher Polynome. 1 Einleitung: Die Klasse P ‖ Eines der zentralen Ziele der Komplexitätstheorie ist es, den Ressourcenbedarf (üblicherweise Zeit oder Speicherplatz) zum Lösen von wichtigen Berechnungsproblemen zu bestimmen. Wir würden insbesondere gerne in der Lage sein, effizient lösbare von nicht effizient lösbaren Problemen zu unterscheiden. Ein Entscheidungsproblem wird gewöhnlich als effizient lösbar angesehen, wenn es eine deterministische Turingmaschine gibt, die dieses Problem in polynomialer Zeit, gemessen an der Eingabegröße, lösen kann. Die Klasse dieser Probleme wird mit P bezeichnet. Eine andere fundamentale Komplexitätsklasse ist die Klasse NP. Die Klasse NP enthält alle Entscheidungsprobleme, die von einer nichtdeterministischen Turingmaschine in polynomialer Zeit akzeptiert werden können. Eine äquivalente Definition für NP ist: NP ist die Klasse aller Probleme, deren “ja”-Instanzen sich in polynomialer Zeit verifizieren lassen. Wir betrachten als Beispiel das Entscheidungsproblem Vertex Cover. Sei G ein beliebiger ungerichteter Graph. Eine Knotenüberdeckung (vertex cover) von G ist eine Knotenmenge V ′ mit der Eigenschaft, daß jede Kante in G wenigstens einen Knoten aus V ′ enthält. Mit τ(G) bezeichnen wir die Anzahl der Knoten einer kleinsten Knotenüberdeckung von G. Das Entscheidungsproblem Vertex Cover ist nun folgender-