INSTABILITY OF RESONANT TOTALLY ELLIPTIC POINTS OF SYMPLECTIC MAPS IN DIMENSION 4. by

— A well known Moser stability theorem states that a generic elliptic fixed point of an area-preserving mapping is Lyapunov stable. We investigate the question of Lyapunov stability for 4-dimensional resonant totally elliptic fixed points of symplectic maps. We show that generically a convex, resonant, totally elliptic point of a symplectic map is Lyapunov unstable. The proof heavily relies on a proof of J. Mather of existence of Arnold diffusion for convex Hamiltonians in 2.5 degrees of freedom. The latter proof is announced in [Ma3], but still unpublished. Résumé (Instabilité des points totalement elliptiques résonnants d’applications symplectiques en dimension 4.) Un théorème célèbre de Moser établit la stabilité au sens de Lyapunov des points fixes elliptiques génériques des applications qui conservent l’aire. On étudie la stabilité de Lyapunov des points fixes totalement elliptiques résonnants d’applications symplectiques en dimension 4. On montre que, génériquement, un point totalement elliptique résonnant convexe d’une application symplectique est instable au sens de Lyapunov. La démonstration s’appuie de façon essentielle sur celle donnée par J. Mather pour l’existence d’une diffusion d’Arnold pour les hamiltoniens convexes à 2,5 degrés de liberté. Celle-ci, annoncée dans [Ma3], n’est pas encore publiée.