Monöıde des enlacements et facteurs orthogonaux

A linking pairing is a symetric bilinear pairing λ : G×G → Q/Z on a finite abelian group. The set of isomorphism classes of linking pairings is a noncancellative monoid E under orthogonal sum, which is infinitely generated and infinitely related. We propose a new presentation of E that enables one to detect whether a linking pairing has a given orthogonal summand. The same method extends to the monoid Q of quadratic forms on finite abelian groups. We obtain a combinatorial classification of Q (that was previously known for groups of period 4). As applications, we describe explicitly 3-manifolds having a degree one map onto prescribed (or proscribed) lens spaces. Most of the results extend to 3manifolds endowed with a parallelization or a spin structure. In particular, the Reidemeister–Turaev function detects the existence of a spin preserving degree one map between a rational homology 3-sphere and a lens space. Résumé Un enlacement est une forme bilinéaire symétrique λ : G×G → Q/Z sur un groupe abélien fini. L’ensemble des classes d’isomorphismes d’enlacements forme un monöıde E , pour la somme orthogonale, à un nombre infini de générateurs et de relations, sans simplification. Nous proposons une nouvelle présentation de E qui permet de reconnâıtre si un enlacement possède un facteur orthogonal donné. La même méthode se généralise au monöıde Q des formes quadratiques sur les groupes abéliens finis. Nous obtenons ainsi une classification combinatoire de Q , classification qui n’était précédemment connue que pour les groupes de période 4. Comme application, nous décrivons explicitement les 3-variétés admettant une application de degré un sur des lenticulaires prescrits (ou proscrits). La plupart des résultats se généralisent aux 3-variétés munies d’une parallélisation ou d’une structure spinorielle. En particulier, la fonction de Reidemeister–Turaev distingue l’existence ou non d’une application de degré un préservant les structures spinorielles entre une 3-sphère d’homologie rationnelle et un lenticulaire. AMS Classification 11E99, 57M27; 11E81, 57N10