Uniform observability estimates for the 1-D discretized wave equation and the random choice method

In this Note, we consider the 1-dimensional wave equation, discretized by means of Glimm’s random choice method. We prove that for almost every choice of the random parameter, the observability estimate is true asymptotically, uniformly with respect to the discretization parameters. To cite this article: J.-M. Coron et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009). © 2009 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Estimées d’observabilité uniformes pour l’équation des ondes unidimensionnelle et méthode du choix aléatoire. Dans cette Note, nous considérons l’équation des ondes unidimensionnelle discrétisée selon la méthode du choix aléatoire due à J. Glimm. Nous établissons que pour presque tout choix de la variable aléatoire, l’estimée d’observabilité pour cette équation est vraie asymptotiquement, uniformément en les paramètres de discrétisation. Pour citer cet article : J.-M. Coron et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009). © 2009 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée Soit c > 0. On considère en dimension un d’espace l’équation de transport à vitesse constante (1) et l’équation des ondes (2), où pour simplifier le problème nous avons posé les équations dans le cercle T := R/Z. On remplacera (2) par le système (3) où l’on a utilisé les notations (4). Ces deux équations sont des cas très particuliers de systèmes hyperboliques de lois de conservation unidimensionnels pour lesquels J. Glimm a obtenu un résultat très général d’existence de solutions au moyen d’un algorithme d’approximation de solutions utilisant une suite de variables aléatoires, connu désormais sous le nom de méthode du E-mail addresses: [email protected] (J.-M. Coron), [email protected] (S. Ervedoza), [email protected] (O. Glass). 1 The authors are partially supported by the ANR, projects C-QUID and ContrôleFlux. 1631-073X/$ – see front matter © 2009 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2009.03.012 506 J.-M. Coron et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009) 505–510 choix aléatoire ou schéma de Glimm [1]. Le but de cette Note est de considérer l’inégalité classique d’observabilité (5) pour ces équations, lorsque celles-ci sont discrétisées au moyen de cet algorithme. La problématique d’obtenir de telles estimées uniformément en les paramètres de discrétisation est un sujet en pleine expansion, voir en particulier [2,5]. Même pour les équations (1) et (2), dans le cadre d’une discrétisation par différences finies ou éléments finis, le schéma numérique engendre des rayons parasites haute fréquence qui se propagent à vitesse nulle, conduisant à une observabilité non uniforme par rapport aux paramètres de discrétisation (voir l’appendice pour l’équation (1)). Nous allons voir qu’au contraire dans le cadre de la méthode du choix aléatoire, avec une très bonne probabilité, on obtient une inégalité d’observabilité uniforme par rapport aux paramètres de discrétisation. Rappelons brièvement comment sont construites les approximations dans le cadre de la méthode du choix aléatoire (voir la Fig. 1). Soit (θi)i∈N ∈ [−1,1]N une suite de tirages indépendants uniformes sur [−1,1] ; l’ensemble [−1,1]N est bien entendu muni de sa tribu et de sa mesure de probabilité P habituelles. On choisira des pas de discrétisation t en temps et x en position, respectant la condition de Courant–Friedrich–Lewy (6). Ils seront en outre choisis selon un facteur d’échelle hyperbolique, au sens où, pour une certaine constante M > 0, l’inégalité (7) est satisfaite. Le domaine spatial est divisé en intervalles [k x, (k + 1) x[ et au temps t = n t fixé, l’approximation est constante sur les mailles [k x, (k+ 2) x[ avec k+ n≡ 0 (mod 2). La donnée initiale u(0, x) est approchée dans L2 par une fonction u0 constante dans les mailles [2k x, (2k+ 2) x[, obtenue par exemple par intégration de la donnée initiale dans chaque maille. Le passage de l’étape n à l’étape n+ 1 s’opère de la manière suivante : à chaque discontinuité k x de l’approximation au temps n t avec k + n≡ 0 (mod 2), on résout le problème de Riemann associé à la discontinuité entre la valeur dans la maille [(k− 2) x, k x[ et celle dans la maille [k x, (k+ 2) x[ ; soit R(t, x) la solution ainsi déterminée. La valeur choisie dans la maille suivante [(k − 1) x, (k + 1) x[ est alors donnée par (8). Autrement dit, la donnée dans la maille suivante est choisie « au hasard » dans la solution du problème de Riemann (au moyen d’une variable aléatoire θn ne dépendant que du temps n t). Le schéma est représenté dans la Fig. 1 pour l’équation des ondes (2) ; la place du choix aléatoire y est désignée par un point noir. Étant donnés une donnée initiale u0, deux pas de discrétisation t et x satisfaisant (6) et (θi)i∈N ∈ [−1,1]N, on notera u[u0, t, x, (θi)] l’approximation obtenue par le procédé précédent, et un[u0, t, x, (θi)] := u[u0, t, x, (θi)](n t, k x). Le but de cette Note est de prouver le résultat suivant : Théorème 0.1. Étant donnés un temps T > 1/c, t et x satisfaisant (6) et N := T/ t ∈ 2N, K := 1/ x ∈ 2N, il existe un ensemble Θ( t, x)⊂ [−1,1]N de choix aléatoires (θi)i∈N tel que pour toute donnée initiale u0 discrète, l’inégalité d’observabilité (9) en x = 0 pour les approximations par méthode du choix aléatoire des solutions de (1) et (3) est satisfaite et de plus Θ( t, x) satisfait (10). Corollaire 0.2. Soit M > c et T > 1/c. Il existe un ensemble Θ de choix aléatoires de mesure pleine tel que pour tout (θi)i∈N ∈Θ , il existe ε > 0 tel que pour tout t , x > 0 satisfaisant T/ t ∈ 2N, 1/ x ∈ 2N, (6), (7) et t ε et toute donnée initiale, l’inégalité (9) est satisfaite.