On the existence of nonsmooth control-Lyapunov functions in the sense of generalized gradients

Let ẋ = f(x, u) be a general control system; the existence of a smooth control-Lyapunov function does not imply the existence of a continuous stabilizing feedback. However, we show that it allows us to design a stabilizing feedback in the Krasovskii (or Filippov) sense. Moreover, we recall a definition of a control-Lyapunov function in the case of a nonsmooth function; it is based on Clarke’s generalized gradient. Finally, with an inedite proof we prove that the existence of this type of control-Lyapunov function is equivalent to the existence of a classical control-Lyapunov function. This property leads to a generalization of a result on the systems with integrator. Abstract. Soit ẋ = f(x, u) un système commandé ; l’existence d’une fonction Lyapunov lisse associée à ce système ne garantit généralement pas l’existence d’un retour d’état stabilisant continu. Cependant, nous montrons qu’elle conduit toujours à la construction d’un retour d’état stabilisant au sens de Krasovskii (ou de Filippov). En outre, nous rappelons une définition de fonction Lyapunov dans le cas d’une fonction seulement Lipschitzienne; celle-ci est caractérisée par une condition sur les gradients généralisés de Clarke. Et Nous démontrons par une preuve inédite que l’existence d’une telle fonction est équivalente à celle d’une fonction Lyapunov lisse classique. Cette dernière propriété nous permet de généraliser un résultat sur le problème intégrateur au cas non-lisse. Soit ẋ = f(x, u) un système commandé ; l’existence d’une fonction Lyapunov lisse associée à ce système ne garantit généralement pas l’existence d’un retour d’état stabilisant continu. Cependant, nous montrons qu’elle conduit toujours à la construction d’un retour d’état stabilisant au sens de Krasovskii (ou de Filippov). En outre, nous rappelons une définition de fonction Lyapunov dans le cas d’une fonction seulement Lipschitzienne; celle-ci est caractérisée par une condition sur les gradients généralisés de Clarke. Et Nous démontrons par une preuve inédite que l’existence d’une telle fonction est équivalente à celle d’une fonction Lyapunov lisse classique. Cette dernière propriété nous permet de généraliser un résultat sur le problème intégrateur au cas non-lisse.