General Curvature Estimates for Stable H-surfaces Immersed into a Space Form

In this paper, we give general curvature estimates for constant mean curvature surfaces immersed into a simply-connected 3-dimensional space form. We obtain bounds on the norm of the traceless second fundamental form and on the Gaussian curvature at the center of a relatively compact stable geodesic ball (and, more generally, of a relatively compact geodesic ball with stability operator bounded from below). As a by-product, we show that the notions of weak and strong Morse indices coincide for complete non-compact constant mean curvature surfaces. We also derive a geometric proof of the fact that a complete stable surface with constant mean curvature 1 in the usual hyperbolic space must be a horosphere. R esum e. Dans cet article, on etablit une estim ee de la courbure pour des surfaces de courbure moyenne constante immerg ees dans un espace de dimension 3, simplement connexe et de courbure constante. On obtient des bornes pour la courbure de Gauss et pour la norme de la seconde forme fondamentale a trace nulle au centre d'une boule g eod esique stable rela-tivement compacte (et plus g en eralement d'une boule g eod esique d'indice de Morse ni). Comme cons equence, on montre que les notions d'indices de Morse faible et fort coincident pour les surfaces de courbure moyenne constante. On utilise ces estim ees pour avoir une preuve g eom etrique du fait q'une surface de courbure moyenne 1 compl ete stable dans l'espace hyperbolique doit ^ etre une horosph ere.