Observer design for dissipative multivalued dynamical systems

This paper deals with the design of state observers for a class of systems with set-valued right-handsides. Two main classes of set-valued mappings are considered: maximal monotone and time-invariant; or normal cones to possibly time-varying sets (not necessarily convex). Such controlled systems can be embedded in various kinds of differential inclusions with absolutely continuous and bounded variation solutions (inclusions with maximal monotone multivalued mappings, and the perturbed Moreau’s sweeping process), using a suitable state space transformation. The well-posedness properties of the observers dynamics are carefully analyzed. The stability of the observation error is proved. Then the problem of stabilization with a feedback control using the estimated state is studied in a particular case. Most of the results rely on rendering some suitable operator dissipative (or SPR in the linear case). Key-words: observer, multivalued systems, differential inclusions, sweeping process, maximal monotone mappings, convex analysis, Lur’e systems, KYP lemma, dissipative systems, positive real systems. ∗ INRIA, ZIRST Montbonnot, 655 avenue de l’Europe, 38334 Saint-Ismier, France, [email protected] † Department of Mechanical Engineering of the Eindhoven University of Technology, P.O. Box 513, 5600 MB Eindhoven, The Netherlands, E-mail: [email protected] Observateurs pour les systèmes dynamiques multivalués dissipatifs Résumé : Dans cet article nous proposons une étude de la synthèse d’observateurs pour une classe de systèmes multivalués, avec second membre maximal monotone, ou bien se mettant sous la forme d’un processus de rafle perturbé (inclusion dans un cône normal). Une propriété de passivité est utilisée afin de mettre le système sous une forme canonique adéquate, permettant de montrer l’existence et l’unicité des solutions. La stabilité de la dynamique d’erreur d’observation est étudiée, et la stabilisation avec un feedback de l’état observé est démontrée dans certains cas. Les cas linéaires et non-linéaires sont étudiés. Mots-clés : Observateurs d’état, systèmes multivalués, inclusions différentielles, processus de rafle, opérateurs maximaux monotones, analyse convexe, systèmes de Lur’e, Lemme KYP, systèmes dissipatifs, systèmes positifs réels. Observers for set-valued systems 3