Facial non-repetitive edge-coloring of plane graphs

A sequence r1, r2, . . . , r2n such that ri = rn+i for all 1 ≤ i ≤ n, is called a repetition. A sequence S is called non-repetitive if no block (i.e. subsequence of consecutive terms of S) is a repetition. Let G be a graph whose edges are coloured. A trail is called non-repetitive if the sequence of colours of its edges is non-repetitive. If G is a plane graph, a facial non-repetitive edge-colouring of G is an edge-colouring such that any facial trail (i.e. trail of consecutive edges on the boundary walk of a face) is non-repetitive. We denote π f (G) the minimum number of colours of a facial non-repetitive edge-colouring of G. In this paper, we show that π f (G) ≤ 8 for any plane graph G. We also get better upper bounds for π f (G) in the cases when G is a tree, a plane triangulation, a simple 3-connected plane graph, a hamiltonian plane graph, an outerplanar graph or a Halin graph. The bound 4 for trees is tight. Key-words: non-repetive edge-colouring, Thue chromatic number, Thue chromatic index, planar graphs ∗ Projet Mascotte, I3S (CNRS and University of Nice-Sophia Antipolis) and INRIA, 2004 Route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, France. [email protected] ‡ Institute of Mathematics, Faculty of Science, P. J. Šafárik University, Jesenná 5, 040 01 Košice, Slovakia. [stanislav.jendrol, roman.sotak, erika.skrabulakova]@upjs.sk Arête-coloration facialement non-répétitive des graphes plans Résumé : Une suite r1, r2, . . . , r2n telle que ri = rn+i pour tout 1 ≤ i ≤ n, est appelée une répétition. Une suite S est non-répétitive si aucun bloc (i.e. soussuite de termes consécutifs de S) n’est une répétition. Soit G un graphe dont les arêtes sont colorées. Un parcours est non-répétitif si la suite des couleurs de ses arêtes est non-répétitive. Si G est un graphe plan, une arête-coloration facialement non-répétitive est une arête-coloration telle que tout parcours facial (i.e. parcours d’arêtes consécutives sur la frontière d’une face) est non-répétitif. On note π f (G) le nombre minimum de couleurs d’une arête-coloration facialement non-répétitive de G. Dans ce rapport, nous montrons que π f (G) ≤ 8 pour tout graphe plan G. Nous donnons également de meilleures bornes supérieures pour π f (G) lorsque G est un arbre, un graphe plan triangulé, un graphe plan simple et 3-connexe, un graphe plan hamiltonien, une graphe planaire extérieur ou un graphe de Halin. En particulier, pour les arbres nous donnons la borne supérieure de 4 qui est la meilleure possible. Mots-clés : arête-coloration non-répétitive, nombre Thue-chromatique, indice Thue-chromatique, graphes planaires Facial non-repetitive edge-colouring of plane graphs 3