Ergodicity of Hamilton-Jacobi equations with a non coercive non convex Hamiltonian in R/Z

The paper investigates the long time average of the solutions of Hamilton-Jacobi equations with a non coercive, non convex Hamiltonian in the torus R2/Z2. We give nonresonnance conditions under which the long-time average converges to a constant. In the resonnant case, we show that the limit still exists, although it is non constant in general. We compute the limit at points where it is not locally constant. Résumé Nous considérons le comportement en temps grand de la moyenne temporelle de solutions d’équations de Hamilton-Jacobi pour un hamiltonien non convexe et non coercif dans le tore R2/Z2. Nous mettons en évidence des conditions de non-résonnance sous lesquelles cette moyenne converge vers une constante. Dans le cas où il y a résonnance, nous montrons que la limite existe, bien qu’étant non constante en général. Nous calculons la limite aux points où celle-ci est non localement constante.