Résumé des travaux

Deux théorèmes fondamentaux de la théorie constructive des fonctions d’une variable complexe sont à l’origine de mes travaux; deux théorèmes que l’on voudrait généraliser aux fonctions de plusieurs variables. Le premier (Walsh, 1933) donne les conditions sur un tableau de points A = (an,k) – dans un compact plan E suffisamment régulier – pour que toute fonction analytique f au voisinage de E soit la limite uniforme de sa suite d’interpolants de Lagrange L[a0,d, . . . , ad,d; f ]. Une des formulations de la réponse stipule que les polynômes wd(x) = (x − a0,d) . . . (x − ad,d) doivent asymptotiquement (lorsque d → ∞) se comporter comme les polynômes de Chebyshev Td+1 de E, c’est-à-dire les polynômes unitaires de degré d + 1 de norme uniforme minimale sur E. Le second théorème (Fekete & Szegö, c. 1930) fait le lien avec la théorie du potentiel classique en rattachant le comportement de ces mêmes polynômes au calcul du diamètre transfini de E qui est aussi sa capacité logarithmique. Malgré quelques résultats intéressants de J. Siciak (c. 1960) (par la suite précisés par T. Bloom (c. 1980) et quelques applications probantes (comme par exemples à la construction d’opérateurs d’extension de fonctions C∞ par W. Plesniak (c. 1990)), et même s’il est probable qu’on finira par disposer d’une (forme de) généralisation du théorème de Walsh, il est assez rapidement apparu que l’interpolation de Lagrange dans C était un outil trop rigide pour pouvoir