LE COMPLEXE BAR ITÉRÉ DES En-ALGÈBRES COMME UN DIAGRAMME HOMOTOPIQUE SUR LA CATÉGORIE DES ARBRES ÉLAGUÉS par

Résumé. — On a montré dans un précédent travail que le complexe bar n-itéré usuel des algèbres commutatives s’étend aux En-algèbres et détermine l’homologie naturelle associée à cette catégorie d’algèbres. On montre dans cet article que le complexe bar n-itéré d’une En-algèbre forme un diagramme sur un remplacement cofibrant de la catégorie des arbres élagués à n niveaux – une variante de la catégorie définie par Batanin pour l’étude des n-catégories. On utilise cette construction pour montrer que l’homologie du complexe bar n-itéré de toute En-algèbre possède une interprétation en termes de foncteur Tor catégorique. On obtient ainsi l’extension, dans son cadre naturel, d’un résultat obtenu par Livernet et Richter pour les algèbres commutatives. La clé de notre travail consiste à mettre en oeuvre des méthodes de la dualité de Koszul des algèbres dans le contexte des catégories différentielles graduées. On détermine par ce moyen un modèle minimal de la catégorie des arbres élagués et un petit complexe, calculant les foncteurs Tor sur cette catégorie, que l’on identifie ensuite au complexe bar n-itéré pour obtenir notre théorème principal.