Optimal Inequalities among Various Means of Two Arguments

and Applied Analysis 3 2. Lemmas In order to establish our main results we need two inequalities, which we present in this section. Lemma 2.1. If r ∈ 0, 1 , then g t − [ t2 t 1 2r /3 1 − 2r ( t 1 2r /3 1 t )] log t 1 − r ( t 1 2r /3 2 − t 1 2r /3 t2 − 1 ) > 0 2.1 for t ∈ 1, ∞ . Proof. Let p 1 2r /3, g1 t t1−pg ′ t , g2 t tg ′ 1 t , g3 t t 1−pg ′ 2 t , g4 t t g ′ 3 t , g5 t t3−pg ′ 4 t , g6 t t g ′ 5 t , g7 t t 1−pg ′ 6 t , and g8 t t g ′ 7 t , then simple computation yields g 1 0, 2.2 g1 t − [ 2t2−p 1 − 2r t1−p 1 − 2r p 1t p ] log t 1 − r p 2t2 − 1 − 2r t 1 − 2r t2−p − 1 − 2r t1−p − p 1 − r − 1, g1 1 0, 2.3 g2 t − [ 2 ( 2 − pt 1 − 2r p 1tp 1 − 2r 1 − p log t 2 1 − r 2 pt1 p − 1 − 2r p 2tp − ptp−1 ( 2rp − 4r − pt − 1 − 2r 2 − p, g2 1 0, 2.4 g3 t − [ 2 ( 2 − pt1−p pp 1 1 − 2r ] log t p ( 1 − pt−1 ( 2rp − 4r p − 4t1−p − 1 − 2r 1 − pt−p 2 1 − r 2 p1 pt − 1 − 2r ( p2 3p 1 ) , g3 1 6p − 2 − 4r 0, 2.5 g4 t −2 ( 1 − p2 − p log t 2 1 − r 2 p1 ptp − p1 p 1 − 2r tp−1 pp − 1tp−2 p1 − p 1 − 2r t−1 − p2 − 2rp2 6rp − 4r 7p − 8, g4 1 12p − 4 − 8r 0, 2.6 4 Abstract and Applied Analysis g5 t 2p 1 − r ( p 1 )( p 2 ) t2 p ( 1 − p2 ) 1 − 2r t − 22 − p1 − pt2−p − p1 − p 1 − 2r t1−p pp − 1p − 2, g5 1 2p3 2 1 − 4r p2 4 3 − r p − 4 8 27 ( −10r3 − 15r2 24r 1 ) > 0, 2.7 g6 t 4p ( p 1 )( p 2 ) 1 − r t 1 p ( 1 − p2 ) 1 − 2r t − 2 2 − p 21 − pt − p 1 − p 2 1 − 2r , g6 1 4p3 4 1 − 4r p2 8 3 − r p − 8 16 27 ( −10r3 − 15r2 24r 1 ) > 0, 2.8 g7 t 4p ( 2 p ) 1 p 2 1 − r t − 21 − p 2 − p 2t1−p p2 ( 1 − p2 ) 1 − 2r , g7 1 3 − 2r p4 2 9 − 8r p3 11 1 − 2r p2 8 3 − r p − 8 1 81 ( −32r5 − 400r4 − 888r3 − 412r2 1576r 156 ) > 0, 2.9 g8 t 4p 1 p 22 p ) 1 − r t − 2 1 − p 2 2 − p , 2.10 g8 1 2 1 − 2r p4 4 7 − 4r p3 − 2 3 10r p2 8 4 − r p − 8 8 81 ( −8r5 − 60r4 − 82r3 − 79r2 198r 31 ) > 0. 2.11 From 2.10 we clearly see that g8 t is strictly increasing in 1, ∞ . Therefore, Lemma 2.1 follows from 2.2 – 2.9 and 2.11 together with the monotonicity of g8 t . Lemma 2.2. If r ∈ 0, 1 , then g t [ rt 1−r /3 1 r − 2 t 1−r /3 r − 2 t r ] log t 2 1 − r ( t 1−r /3 1 − t 1−r /3 t − 1 ) > 0 2.12