Cacti, Braids and Complex Polynomials

The study of the topological classiication of complex polynomials began in the XIX-th century by Luroth (1871), Clebsch (1873) and Hurwitz (1891). In the works of Zdravkovska 23] and Khovanskii and Zdravkovska 17] the problem is reduced to a purely combinatorial one, that of the study of a certain action of the braid groups on a class of tree-like gures that we, following 14], call \cacti". Using explicit computation of the braid group orbits, enumerative results of 14], and also establishing some combinatorial invariants of the action, we provide the topological classiication of polynomials of degree up to 9 (previous results were known up to degree 6). R esum e L' etude de la classiication topologique des polyn^ omes complexes a commenc e au XIX-eme siecle par Luroth (1871), Clebsch (1873) et Hurwitz (1891). Dans les travaux de Zdravkovska 23] et Khovanskii et Zdravkovska 17] le probl eme est r eduit a une etude purement com-binatoire d'une certaine action du groupe des tresses sur un genre de gures arborescentes que nous appelons, d'apr es 14], les \cactus". En utilisant le calcul explicite des orbites du groupe des tresses, les r esultats enum eratifs de 14], et aussi en mettant en evidence certains invariants combinatoires de l'action, nous achevons la classiication topologique des polyn^ omes de degr e jusqu'' a 9 (une telle classiication a et e connue jusqu'au degr e 6).