Cortex Unfolding Using Level Set Methods

We approach the problem of unfolding the surface of the cerebral cortex by modeling the problem as a front propagation governed by a Partial Differential Equation (PDE) which is solved using level set techniques. As a first step in this direction, we present multi-scale representations of closed surfaces that preserve their total area or enclosed volume. This is the three-dimensional extension of previous work on curves [21]. The resulting evolution equations allow the smoothing of closed surfaces without shrinkage. Additionally, correspondences between points in the surface at different scales are maintained by tracking the points of an initial mesh by means of an Ordinary Differential Equation (ODE). This technique allows to give tangential velocities to those points, therefore permitting them to move under general (tangential plus normal) velocity fields. We present the level set implementation of the normalized three-dimensional mean curvature flows and provide experimental results by unfolding surfaces segmented from MRI images of the human brain. Key-words: Front Propagation, Level Sets, Cortex unfolding, Mean Curvature Flow, Partial Differential Equations, Gonflement du Cortex par des Méthodes de Surfaces de Niveau Résumé : Nous modélisons le problème du gonflement du cortex cérébral comme un problème de propagation de front, régit par une Equation Différentielle Partielle que l’on résoud par des méthodes de surfaces de niveau. Dans cet article, nous présentons des représentations multi-échelles de surfaces férmées qui préservent l’aire totale ou le volume fermé. Ceci est une extension directe d’un travail antérieur pour des courbes planes [21]. Les équations d’évolution qui en résultent permettent le lissage de surfaces fermées sans rétrécissement. En outre, les correspondances entre points de la surface à des échelles différentes sont maintenues en suivant les points d’un maillage initial par une Equation Différentielle Ordinaire. Cette technique permet de donner des mouvements tangentiels à ces points, leur permettant ainsi de bouger sous l’action de champs de vitesse généraux (i.e. contenant des composantes tangentielles et normales). Nous présentons la mise en œuvre des équations proposées ainsi que les résultats expérimentaux en les appliquant sur des surfaces du cortex, segmentées à partir d’images IRM du cerveau humain. Mots-clés : Propagation de Fronts, Coupes de niveaux, Gonflement du Cortex, Flux par Courbure Moyenne, EDP Cortex Unfolding Using Level Set Methods 3