Une formule analytique pour les polynômes de Macdonald

We give the explicit analytic development of any Jack or Macdonald polynomial in terms of elementary (resp. modified complete) symmetric functions. These two developments are obtained by inverting the Pieri formula. Résumé Nous donnons le développement analytique explicite de tout polynôme de Jack ou de Macdonald sur les fonctions symétriques élémentaires (resp. complètes modifiées). Nous obtenons ces deux développements par inversion de la formule de Pieri. Version française abrégée Au milieu des années cinquante, Hua introduisait les polynômes zonaux et posait le problème d’en obtenir un développement analytique explicite [1]. En dépit de nombreuses recherches, cette question est demeurée ouverte. Elle est désormais formulée dans le cadre plus général des polynômes de Macdonald. Les polynômes zonaux sont en effet un cas particulier des polynômes de Jack, qui sont eux-mêmes un cas limite des polynômes de Macdonald. Ces polynômes sont indexés par les partitions d’entiers. Ils forment une base de l’algèbre des fonctions symétriques à coefficients rationnels en deux paramètres q, t, et généralisent notamment les fonctions de Schur, les polynômes de Hall–Littlewood, et les polynômes de Jack. Les polynômes de Macdonald ont été déterminés par Lapointe, Lascoux et Morse [5], qui les ont exprimés comme déterminants. Cependant les entrées de ces déterminants sont des quantités combinatoires qui ne peuvent être en général exprimées analytiquement. On ne disposait donc jusqu’ici d’aucune formule analytique explicite pour les polynômes de Jack et de Macdonald. On ignorait notamment leur développement sur les bases classiques, sauf dans deux cas particuliers : lorsque la partition indexante est de longueur deux [2], ou lorsqu’elle est de longueur trois [6], ainsi que dans les situations duales où les parts sont au plus égales à 2 ou 3. 1 Le but de cette Note est de présenter une solution générale à ce problème. Pour tout polynôme de Macdonald nous obtenons deux développements analytiques explicites. Le premier se fait sur les fonctions symétriques élémentaires. Le second sur les fonctions symétriques “complètes modifiées”, dont le développement sur toute base classique est connu [7].