A dynamical strategy for approximation methods

The numerical result provided by an approximation method is affected by a global error, which consists of both a truncation error and a round-off error. Let us consider the converging sequence generated by successively dividing by two the step size used. If computations are performed until, in the convergence zone, the difference between two successive approximations is only due to round-off errors, then the global error on the result obtained is minimal. Furthermore its significant bits which are not affected by round-off errors are in common with the exact result, up to one. To cite this article: F. Jézéquel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2006). Résumé Une stratégie dynamique pour les méthodes d’approximation. Le résultat numérique fourni par une méthode d’approximation est entaché d’une erreur globale qui comprend à la fois une erreur de troncature et une erreur d’arrondi. Considérons la suite convergente générée en divisant par deux successivement le pas utilisé. Si les calculs sont effectués jusqu’à ce que, dans la zone de convergence, la différence entre deux approximations successives soit uniquement due aux erreurs d’arrondi, alors l’erreur globale sur le résultat obtenu est minimale. De plus, ses bits significatifs non entachés d’erreur d’arrondi sont en commun avec le résultat exact, à un près. Pour citer cet article : F. Jézéquel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2006). Version française abrégée Une méthode d’approximation fournit un résultat entaché d’une erreur de troncature inhérente à l’algorithme utilisé et d’une erreur d’arrondi due à la précision finie de l’arithmétique de l’ordinateur. Lorsque le pas de discrétisation Email address: [email protected] (Fabienne Jézéquel). Preprint submitted to Elsevier 2 December 2009 d’une telle méthode décrôıt, l’erreur de troncature diminue, mais l’erreur d’arrondi augmente. Il peut alors être difficile de contrôler ces deux erreurs à la fois. Le théorème 0.1 permet, à partir de deux approximations calculées avec les pas h et h 2 , de déterminer les premiers chiffres du résultat exact. Il généralise les résultats théoriques qui avaient été établis pour différentes méthodes de quadrature: tout d’abord pour la méthode des trapèzes et celle de Simpson [4], puis pour les méthodes fermées de Newton-Cotes [1] et la méthode de Gauss-Legendre [6]. Théorème 0.1 Si Ln est une approximation d’ordre p calculée avec le pas h0 2 d’une valeur exacte L, dont le développement jusqu’à l’ordre q de l’erreur de troncature est Ln − L = K (