CHAPITRE X Les ensembles constructibles

Résumé. • De même qu’on introduit le sous-corps premier d’un corps K comme la clôture de {0, 1} par les opérations de corps, on introduit un plus petit modèle intérieur L d’un modèle de ZF comme clôture des ordinaux par les opérations de Gödel. Les éléments de L sont appelés les ensembles constructibles. • La propriété d’être un ensemble constructible est absolue, c’est-à-dire préservée par passage à un modèle intérieur. En particulier, on a LL = L. • Le modèle L est muni d’un bon ordre canonique, et il satisfait AC. On en déduit que ZF ne prouve pas ¬AC. • Le modèle L admet une stratification par des ensembles Lα analogues aux Vα, où Lα+1 est l’ensemble des parties de Lα appartenant à la clôture de Lα par les opérations de Gödel. Toute partie constructible de Lα appartient à un ensemble Lβ avec β < (α+)L, et il en résulte que L satisfait HCG. On en déduit que ZF ne prouve pas ¬HCG. • Tout énoncé d’arithmétique prouvable à partir de ZF+AC+HCG est prouvable à partir de ZF. • Dans le modèle L, il existe un sous-ensemble de R2 qui est projection de complémentaire de projection de borélien et n’est pas Lebesfue mesurable. • Le modèle L satisfait les principes combinatoires ♦κ et !κ. • Quoique permettant de décider de nombreuses questions, le système ZF+V=L ne parâıt pas constituer un cadre universel satisfaisant pour la théorie des ensembles car il exclut de nombreuses options.