Stability of a Finite Volume Scheme for the Incompressible Fluids

We introduce a finite volume scheme for the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations. We use a triangular mesh. The unknowns for the velocity and pressure are respectively piecewise constant and affine. We use a projection method to deal with the incompressibility constraint. We show that the differential operators in the Navier-Stokes equations and their discrete counterparts share similar properties. In particular we state an inf-sup (Babuška-Brezzi) condition. Using these properties we infer the stability of the scheme. Résumé. Nous introduisons ici un schéma volumes finis pour les équations de Navier-Stokes incompressibles en deux dimensions. Les maillages considérés sont formés de triangles. Les inconnues associées à la vitesse et la pression sont respectivement constantes et affines par morceaux. Nous utilisons une méthode de projection pour traiter la contrainte d’incompressibilité. Nous vérifions que les opérateurs différentiels apparaissant dans les équations de Navier-Stokes et leurs analogues discrets vérifient des propriétés similaires. Nous prouvons en particulier une condition inf-sup. Nous en déduisons la stabilité du schéma. 1991 Mathematics Subject Classification. 76D05, 74S10, 65M12. Received: 13 august 2007.