On the Size of the Sets of Gradients of Bump Functions and Starlike Bodies on the Hilbert Space

We study the size of the sets of gradients of bump functions on the Hilbert space `2, and the related question as to how small the set of tangent hyperplanes to a smooth bounded starlike body in `2 can be. We find that those sets can be quite small. On the one hand, the usual norm of the Hilbert space `2 can be uniformly approximated by C 1 smooth Lipschitz functions ψ so that the cones generated by the ranges of its derivatives ψ(`2) have empty interior. This implies that there are C smooth Lipschitz bumps in `2 so that the cones generated by their sets of gradients have empty interior. On the other hand, we construct C-smooth bounded starlike bodies A ⊂ `2, which approximate the unit ball, so that the cones generated by the hyperplanes which are tangent to A have empty interior as well. We also explain why this is the best answer to the above questions that one can expect. RÉSUMÉ. On étudie la taille de l’ensemble de valeurs du gradient d’une fonction lisse, non identiquement nulle et à support borné dans l’espace de Hilbert `2, et aussi celle de l’ensemble des hyperplans tangents à un corps étoilé dans `2. On montre que ces ensembles peuvent être assez petits. D’un côté, la norme de l’espace de Hilbert est approximée uniformement par des fonctions de classe C et Lipschitziennes ψ telles que les cônes engendrés par les ensembles de valeurs des dérivées ψ(`2) sont d’intérieur vide. Cela entrâıne qu’il y a des fonctions bosses de classe C et Lipschitziennes dont les cônes engendrés par les valeurs des gradients sont d’intérieur vide. D’un autre côté, on construit des corps étoilés bornés lisses de classe C et Lipschitziens dont les cônes engendrés par les hyperplans tangents sont d’intérieur vide. On montre aussi pourquoi celle-ci est la meuillère réponse à ces questions que l’on puisse espérer.