Sur Les Programmes Logiques Localement Stratii Es 1 on Locally Stratiied Logic Programs

Elementary ideas from topological dynamics are used to provide a constructive approach to Przymusinski s perfect model semantics for locally strati ed normal logic programs Our results utilise level mappings which take values in an arbitrary countable ordinal and our methods are akin to those of Apt Blair and Walker for strati ed programs We show the existence of unique supported models when certain inequalities are strict improving Przymusinski s results for perfect models Also our results complement Fitting s treatment by metric methods of certain non strati ed programs which occur in the context of termination problems in logic programming Version fran caise abr eg ee Soit P un programme logique normal au sens d e ni dans Nous con sid erons P comme un ensemble peut etre in ni des clauses C du type A A Ak B Bl dans lequel A tout Ai et tout Bj ne contiennent pas de variables Le probl eme principal dans l etude de tels programmes est d etablir un rapport entre la s emantique d eclarative de P et la s emantique proc edurale de P Autrement dit de rattacher la th eorie des mod eles de P d une part aux interpr etes de P d autre part et pour ces derniers d etudier les probl emes tels que v eridicit e et compl etude Dans la plupart des cas nous associerons un op erateur TP IP IP a P IP d esignant le treillis de toutes les interpr etations de Herbrand pour P et nous etudierons les points pr e x es de TP c est a dire les mod eles de P voir et les points xes de TP a savoir les mod eles support es de P voir Comme TP est en g en eral non monotonique quand des atomes n egatifs Bj sont pr esents dans le corps des clauses de P il est tr es important de trouver des points xes d op erateurs non monotoniques ou du moins de d emontrer leur existence Plusieurs m ethodes ont et e propos ees pour traiter ce probl eme entre autres i utiliser des logiques a trois valeurs ii consid erer IP comme un espace m etrique ou quasi m etrique iii consid erer IP comme un espace topologique voir pour plus amples d etails et r ef erences C est cette derni ere m ethode qui sera utilis ee ici En particulier nous identi ons IP a l ensemble P BP de tous les sous ensembles de BP comme d habitude BP d esignant la base de Herbrand pour P Ce qui nous permet d identi er IP a l espace des fonctions autrement dit l espace des suites BP dans lequel d esigne l espace a deux points f g muni de la topologie discr ete D esignons maintenant par Q la topologie sur IP r esultant de la topologie produit sur BP Cette topologie est bien connue et dans cette topologie IP est hom eomorphique a l ensemble de Cantor des nombres r eels nous supposons ici que le langage de premier ordre sous jacent de P contient au moins un symbole fonction tel que BP soit un ensemble in ni nous dirons donc que Q est la topologie de Cantor sur IP Bien entendu l identi cation de IP a un produit d enombrable d espaces a deux points entra ne une identi cation correspondante de TP a un op erateur SP d e ni sur l espace de suites correspondant Ce raisonnement conduit naturellement a consid erer l etude de TP et de ses points xes du point de vue des syst emes dynamiques et c est cette approche que nous examinons dans cette note En fait dans nous avons etabli des rapports entre d une part la logique computationelle et d autre part l espace de Vietoris de BP aussi bien que les syst emes de fonctions it er ees Notre but dans cette note est plus particuli erement de pr esenter un r esum e des r esultats obtenus dans avec l etude de la convergence dans Q des suites T P I des it erates d un el ement quelconque I IP c est a dire les el ements de l orbite de I et notre raisonnement est guid e par la proposition suivante Proposition Voir Soient P un programme logique normal et I une interpr etation de P Si la suite T P I n N converge dans la topologie Q de Cantor vers une interpr etation M quelconque il n est To appear in C R Acad Sc Paris pas n ecessaire que cette condition soit remplie alors M est un mod ele de P mais pas n ecessairement un mod ele support e Si de plus TP est continu dans la topologie de Cantor il n est pas n ecessaire que cette condition soit remplie alors M est un mod ele support e ou point xe de TP Ainsi donc nous cherchons les conditions syntactiques qui assurerons la convergence dans Q des suites T P I et permettront de trouver des mod eles et des mod eles support es de P au moyen de la Proposition En fait nous etudions deux conditions Condition et impos ees sur un programme P que nous formulons en termes d applications l BP appel ees applications de niveau d esignant un ordinal d enombrable arbitraire Ces conditions sont les suivantes soient P un programme et A A Ak B Bl une clause arbitraire de P on dit que P satisfait la Condition si on a l A l Ai et l A l Bj pour tout i et j et qu il satisfait la Condition si on a l A l Ai l Bj pour tout i et j En fait la classe de programmes qui remplit la Condition co ncide exactement avec la classe des programmes localement strati es d e nie par Przymusinski dans la sous classe de programmes qui remplit la Condition pourrait etre appel ee la classe des programmes acycliques g en eralis es A vrai dire nous avons l intention de distinguer soigneusement entre ces deux classes mais le terme localement strati e ne nous permet pas de le faire Nous utiliserons par cons equent les termes anglais semi strictly level decreasing et strictly level decreasing respectivement pour bien les di erencier Przymusinski dans et ailleurs a etudi e la s emantique proc edurale des programmes localement strat i es Dans cette note toutefois nous nous limitons a leur th eorie des mod eles et nos r esultats peuvent se r esumer de la fa con suivante avec la Proposition nous donnons au x une approche simple et construc tive voir Construction de la s emantique des mod eles parfaits pour les programmes localement strati es P voir Th eor eme De plus nous obtenons des equations de r ecursion qui contr olent l evolution des it erates li es a la construction et qui ma trisent la n egation voir Corollaire En particulier les equations de r ecursion d emontrent la simplicit e de notre construction si P remplit la Condition On notera que nous n utilisons que les it erates ordinaires de TP et non les plus compliqu ees introduites dans Au x en n nous etudions la classe de programmes qui remplit la Condition Nous montrons que dans ce cas le mod ele parfait unique construit au x est en fait le mod ele support e unique voir Th eor eme Pour cette classe de programmes le r esultat de Przymusinski se trouve am elior e et toutes les s emantiques standards co ncident Ce r esultat est obtenu en munissant le domaine de Scott IP de la structure d un espace ultram etrique g en eralis e selon la d e nition de ! Nous montrons ensuite que TP est strictement contractante par rapport a l ultram etrique g en eralis ee que nous d e nissons En n nous appliquons le th eor eme de Priess Crampe et Ribenboim sur les points xes ! pour obtenir un point xe unique de l op erateur TP et par cons equent un mod ele support e unique pour P Les auteurs de cette note se sont donn e pour t ache d approfondir ces id ees et en particulier de les d evelopper dans la programmation logique disjonctive et dans d autres domaines