Simultaneous Polynomial Approximations of the Lerch Function

We construct bivariate polynomial approximations of the Lerch function, which for certain specialisations of the variables and parameters turn out to be HermitePadé approximants either of the polylogarithms or of Hurwitz zeta functions. In the former case, we recover known results, while in the latter the results are new and generalise some recent works of Beukers and Prévost. Finally, we make a detailed comparison of our work with Beukers’. Such contructions are useful in the arithmetical study of the values of the Riemann zeta function at integer points and of the Kubota-Leopold p-adic zeta function. Résumé. Nous construisons des approximations polynomiales en deux variables de la fonction de Lerch, qui, pour certaines spécialisations des variables et des paramètres, s’avèrent être des approximants de Hermite-Padé soit des fonctions polylogarithmes soit des fonctions zêta d’Hurwitz. Dans le premier cas, nous retrouvons des résultats connus de la littérature tandis que dans le second cas, les résultats sont nouveaux et généralisent des travaux récents de Beukers et Prévost. Enfin, nous comparons l’approche de Beukers et la nôtre. De telles constructions sont utiles dans l’étude arithmétique des valeurs aux entiers de la fonction zêta de Riemann et de la fonction zêta p-adique de Kubota-Leopold.