Courbes hyperelliptiques à multiplications réelles et une construction de Shih

Let r and p be distinct prime numbers, let K = Q(cos 2π r ), and let F be the residue field of K at a place above p. When the image of (2 − 2 cos 2π r ) in F is not a square, we describe a geometric construction of a regular extension of K(t) with Galois group PSL2(F). This extension corresponds to a covering of P/K of “signature (r, p, p)” in the sense of [3, sec. 6.3], and its existence is predicted by the rigidity criterion of Belyi, Fried, Thompson and Matzat. Its construction is obtained by twisting the mod p galois representation attached to a family of abelian varieties with real multiplications by K discovered by Tautz, Top and Verberkmoes [6]. These abelian varieties are defined in general over a quadratic field, and are isogenous to their galois conjugate. Our construction generalises a method of Shih [4], [5], which one recovers when r = 2 and r = 3. 1 Rigidité dans PSL2(F) Soit r un nombre premier, et soit C un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. On choisit une racine primitive r-ième (resp. 4-ième) de l’unité ζ dans C si r est impair (resp. r = 2), et on pose ω = ζ + ζ−1. Soit K = Q(ω) le sous-corps réel du corps cyclotomique Q(ζ), soit d son degré sur Q , et soit O son anneau des entiers. On se donne un corps F de caractéristique p = r muni d’un homomorphisme surjectif φ : O −→ F. Le corps F est donc une extension finie de Fp de cardinalité p f , où f est l’ordre de p dans (Z/rZ)×/〈±1〉. PosonsG = PSL2(F). C’est un groupe fini simple lorsque p f > 3, ce que l’on supposera désormais. Le groupe G possède d classes de conjugaison d’éléments d’ordre r. (En effet, une matrice d’ordre r dans SL2(F) est déterminée à conjugaison près par sa trace, qui est égale à φ(ω) pour un choix de σ ∈ Gal(K/Q).) Ces classes sont rationnelles sur le corps K au sens de [3, sec. 7.1.], et sont permutées transitivement par Gal(K/Q). Empruntant les notations de l’atlas des groupes finis [1], appelons rA la classe de conjugaison d’éléments d’ordre r dans G représentés par une matrice de trace ω̄ := φ(ω). Si p = 2, le groupe G possède une seule classe de conjugaison d’éléments d’ordre p, contenant les matrices unipotentes. Si p est impair, alors G possède deux classes de conjuReçu par les éditeurs le 4 février, 1998. Classification (AMS) par sujet: 11G30, 14H25. c ©Société Mathématique du Canada 2000.