Definable Genericity and Outer Models

2. Definable genericity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1. Levels of class genericity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. Equivalents of definable genericity . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Rudimentary extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1. Two languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2. Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3. T qf and the quantifier-free outer model language . . . . . . . . . . 9 3.4. The V̂α[[A]] hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4. Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. (†) and the main theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.1. The axioms T and (†1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2. The inductive definitions Γn and (†2) . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3. The main theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4. Independence of (†1) and (†2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Proof of Theorem A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.1. The Γn’s and T 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2. The partial ordering P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.3. Counterpart symbols and the forcing language . . . . . . . . . . . 21 5.4. T and the ∃n forcing relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.5. Completing the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6. Proof of Theorem B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1. Five observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.2. Counterpart symbols and the outer model language . . . . . . . . . 30 6.3. Sn(α) and the verification of (†1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.4. Verification of (†2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7. Partial genericity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 8. 0 and (†1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.1. Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.2. Requirements on the construction . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8.3. Verification of (†1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.4. Conditions embodying generic filters . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.5. Construction of the fk’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8.6. Verification of the construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.7. Residual indiscernibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54