Reciprocity Theorems for Holomorphic Representations of Some Infinite-dimensional Groups Quelques Théorèmes De Réciprocité Pour Les Représentations Holomorphes Irréductibles De Certains Groupes De Dimension Infinie

Let μ denote the Gaussian measure on n×k defined by dμ (Z) = −nk exp −Tr ZZ dZ, where Tr denotes the trace function, Z = Z̄ , and dZ denotes the Lebesgue measure on n×k . Let Fn×k denote the Bargmann–Segal–Fock space of holomorphic entire functions on n×k which are also square-integrable with respect to μ. Fix n and let Fn denote the Hilbert-space completion of the inductive limit limk Fn×k . Let Gk and Hk be compact groups such that Hk Gk GLk ( ). Let G (resp. H ) denote the inductive limit k=1 Gk (resp. k=1 Hk). Then the representation RG (resp. RH ) of G (resp. H ), obtained by right translation on Fn , is a holomorphic representation of G (resp. H ) in the sense defined by Ol’shanskii. Then RG and RH give rise to the dual representations R G n and R H n of the dual pairs (G n,G ) and (H n, H ), respectively. The generalized Bargmann–Segal–Fock space Fn can be considered as both a (G n, G )-dual module and an (H n,H )-dual module. It is shown that the following multiplicity-free decompositions of Fn into isotypic components Fn = ( ) I ( ) n = (μ) I (μ) n hold, where ( ) is a common irreducible signature of the pair (G n,G ) and (μ) a common irreducible signature of the pair (H n,H ), and I ( ) n (resp. I (μ) n ) is both the isotypic component of the equivalence classes ( )G (resp. (μ)H ) and ( )G n (resp. (μ )H n ). A reciprocity theorem, giving the multiplicity of (μ)H in the restriction to H of ( )G in terms of the multiplicity of ( )G n in the restriction to G n of (μ )H n , constitutes the main result of this paper. Several applications of this theorem to Physics are also discussed. Résumé. Soit μ la mesure de Gauss definie sur l’espace vectoriel n×k par la formule dμ (Z) = −nk exp −Tr ZZ dZ, z n×k , où l’on désigne par Tr la trace d’une matrice, Z = Z̄ , et par dZ la mesure de Lebesgue sur n×k . Soit Fn×k l’espace hilbertien de Bargmann–Segal–Fock des fonctions entières holomorphes f : n×k telles que f soient de carréintegrable par rapport à la mesure μ. On fixe n et l’on désigne par Fn le complété de la limite inductive par rapport à k des espaces Fn×k . Pour chaque k soient Gk et Hk deux groupes compacts tels que Hk Gk GLk ( ), et l’on suppose aussi que Hk−1 Hk Hk+1 · · · et Gk−1 Gk Gk+1 · · · . Soit G (resp. H ) la limite inductive de la chaine {Gk} (resp. {Hk}). Alors la représentation RG (resp. RH ) de G (resp. H ), obtenue par translation à droite sur Fn , est holomorphe dans le sens de Ol’shanskii. Les représentations RG et RH donnent lieu aux représentations R G n et R H n , respectivement, des paires duales (G n, G ) et (H n,H ). L’espace hilbertien generalisé de Bargmann–Segal–Fock Fn peut être consideré en même temps comme un (G n, G )-module et un (H n,H )-module. On montre que l’on a les décompositions suivantes de Fn en uniques composantes isotypiques Fn = ( ) I ( ) n = (μ) I (μ) n , où ( ) est une signature irréductible commune de la paire (G n,G ) et (μ) celle de la paire (H n,H ), et où I ( ) n (resp. I (μ) n ) est à la fois la composante isotypique de la classe d’équivalence de ( )G (resp. (μ)H ) et celle de ( )G n (resp. (μ )H n ). On donne une démonstration d’un théorème de réciprocité, donnant la multiplicité de (μ)H dans la restriction à H de ( )G , en fonction de la multiplicité de ( )G n dans la restriction à G n de (μ )H n . L’article se termine par une discussion de plusieurs applications en Physique du théorème précédant. THÉORÈMES DE RÉCIPROCITÉ 3