G Eom Etrie Alg Ebrique/algebraic Geometry a Complex Hyperbolic Structure for Moduli of Cubic Surfaces Version Frann Caise Abr Eg Ee

We show that the moduli space M of marked cubic surfaces is biholomorphic to (B 4 ? H)=? 0 where B 4 is complex hyperbolic four-space, where ? 0 is a speciic group generated by complex reeections, and where H is the union of reeection hyperplanes for ? 0. Thus M has complex hyperbolic structure, i.e., an (incomplete) metric of constant holomorphic sectional curvature. Une structure hyperbolique complexe pour les modules des surfaces cubiques R esum e. Nous montrons que l' espace des modules M des surfaces cubiques marqu ees est biholomorphe a (B 4 ? H)=? 0 o u B 4 est l' espace complexe hyperbolique de dimenson quatre, o u ? 0 est un groupe sp eciique gen er e par des reeections complexes, et o u H est l'union de l'ensemble d'hyperplans de reeections de ? 0. Donc M admet une structure hyperbolique complexe, c'est a dire une m etrique (incompl ete) de courbure holomorphe sectionelle constante. A une surface cubique (marqu ee) correspond une vari et e cubique de dimension trois (marqu ee), a savoir le rev^ etement de P 3 ramii e le long la surface. L'application des periodes f pour ces vari et es de dimension trois est d eenie sur l' espace des modules M des cubiques marqu ees, et cette application f prend ses valeurs dans une quotient de la boule unitaire dans C 4 par l'action du groupe de monodromie projective. Ce groupe ? 0 est gen er e par des reeections complexes dans un ensemble d'hyperplans dont la r eunion nous notons par H. Alors nous avons le resultat suivant: Th eor eme. L'application des periodes d eenit une biholomorphisme